当面临公司欠薪问题时，负责调查的部门主要是劳动监察部门。以下是对此问题的详细分析：

1. 劳动监察部门的职能与调查方式：

   • 职能：劳动监察部门是负责监督检查用人单位遵守劳动法律、法规情况的重要机构，专门处理违反劳动保障法律、法规的举报和投诉。
   • 调查方式：一旦接到劳动者的欠薪投诉，劳动监察部门会依法展开调查。劳动者需准备好劳动合同、工资条、考勤记录等能证明劳动关系的材料，前往用人单位所在地的劳动监察大队进行投诉。劳动监察部门将根据这些证据和法律规定，对用人单位进行调查，若查证属实，会责令用人单位限期支付拖欠的工资，并可能加付赔偿金。

2. 其他可能的维权途径：

   • 劳动争议仲裁委员会：若协商和劳动监察均未能解决问题，劳动者可向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决，要求用人单位支付拖欠的工资及可能的补偿。
   • 人民法院：对于债权债务关系明确、合法的欠薪案件，劳动者可向当地人民法院申请支付令。若对仲裁结果不服或符合特定情形（如持有工资欠条），劳动者也可在规定期限内向人民法院提起诉讼。
   • 工会组织：工会是劳动者的“娘家”，有权代表劳动者与用人单位交涉，要求解决欠薪问题。劳动者可以向本单位工会反映情况，寻求工会的支持和帮助。

3. 重要提示：

   • 保留证据：在整个维权过程中，劳动者应始终保留好所有与欠薪相关的证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、聊天记录、通话录音等。这些证据是维权成功的关键。
   • 注意时效性：劳动者在维权时需注意时效性要求，如仲裁申请一般应在劳动争议发生之日起一年内提出。
   • 理性维权：劳动者在维权过程中应保持冷静和理性，避免采取过激行为，以免影响自己的权益和形象。

综上所述，当面临公司欠薪问题时，劳动者应首先向劳动监察部门投诉，由该部门负责调查并处理欠薪问题。若问题未能得到解决，劳动者还可考虑通过劳动争议仲裁委员会、人民法院或工会组织等途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。