检察院建议死刑而法院未判死刑的，检察院不一定会抗诉，是否抗诉取决于多种因素。以下从不同角度进行分析：
检察院抗诉的法律依据与考量
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，检察院认为法院的判决、裁定确有错误时，有权按照审判监督程序提出抗诉。这里的“确有错误”是一个综合性的判断，包括但不限于事实认定错误、法律适用错误、量刑不当等。在死刑案件中，如果检察院认为法院未判处死刑的决定存在上述错误，且该错误达到了需要纠正的程度，那么检察院可能会选择抗诉。
检察院不抗诉的可能情况
量刑适当性：即使检察院最初建议判处死刑，但如果法院在审理过程中认为根据案件的具体情况（如被告人的犯罪情节、悔罪表现、社会危害程度等），判处死刑缓期执行、无期徒刑或有期徒刑等更为适当，且这种量刑在法律框架内是合理的，那么检察院可能会认可法院的判决，不提出抗诉。
证据与事实认定：如果法院在审理过程中对案件的事实认定或证据采信与检察院存在分歧，且法院的认定有充分的证据支持，那么检察院在评估后可能会认为法院的判决并无明显错误，从而不提出抗诉。
法律政策与司法实践：随着法律政策的调整和司法实践的发展，对于某些类型的犯罪，司法机关可能会趋向于更为宽缓的刑罚。在这种情况下，即使检察院最初建议判处死刑，但如果法院的判决符合当前的法律政策和司法实践趋势，检察院也可能会选择不抗诉。
检察院抗诉的实践案例与影响
在实践中，确实存在检察院建议判处死刑而法院未判死刑，检察院随后提出抗诉的案例。然而，这并不意味着所有类似情况都会导致抗诉。抗诉的决定需要综合考虑多种因素，包括案件的具体情况、法律政策的导向、司法实践的趋势以及检察院自身的判断等。
建议：如果您或您身边的人涉及此类案件，且对检察院是否会抗诉存在疑虑，建议直接向我咨询。作为专业律师，我可以根据案件的具体情况，结合相关法律法规和司法实践，为您提供更为详细和准确的法律意见。