结论前置：元旦节不放假且没有支付三倍工资，在大多数情况下是违法的，但需注意特殊工时制度的例外情况。

详细分析：

1. 法定节假日的法律规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》第四十四条的规定，法定休假日安排劳动者工作的，用人单位应当支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。元旦作为国家法定节假日，1月1日这一天是全体公民放假的节日，因此，如果用人单位在这一天安排劳动者工作，必须支付三倍工资。

2. 特殊工时制度的例外：

   • 不定时工作制：对于实行不定时工作制的劳动者，如果已经经过劳动行政部门的审批，那么在元旦上班可能不享有三倍工资。这种工时制度通常适用于工作性质特殊、需连续作业或受季节及自然条件限制的企业部分职工。
   • 综合计算工时工作制：对于实行综合计算工时工作制且经过审批的劳动者，在计算周期内只要总工作时间不超过法定标准工作时间，一般不单独针对元旦支付三倍工资。但若在周期内总实际工作时间超标，超出部分应视为延长工作时间，并按规定支付加班费；若在法定节假日安排工作，仍需按不低于工资300%的标准支付。

3. 元旦假期的其他天数：

   • 元旦假期通常包含三天，但只有1月1日这一天是法定节假日。如果元旦假期恰逢周末，那么周六、周日这两天则属于普通休息日。劳动者在普通周末加班的，用人单位可以选择安排补休或支付不低于日工资200%的加班工资。这里需要明确区分法定节假日与普通休息日的工资标准是不同的。

4. 维权途径：

   • 如果用人单位违反法律规定，拒绝支付元旦加班的三倍工资，劳动者可以首先尝试与用人单位协商，要求支付相应的工资报酬。
   • 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉，由劳动监察部门责令用人单位改正并支付工资。
   • 劳动者还可以选择申请劳动仲裁，通过仲裁程序要求用人单位支付加班工资及可能的赔偿金。如果对仲裁结果不满意，劳动者还可以在拿到仲裁书后规定的时间内向法院提起诉讼。

实例说明： 假设某劳动者月工资为6000元，其日工资计算为6000元 ÷ 21.75天 ≈ 275.86元。如果该劳动者在元旦当天加班，那么其加班工资应为275.86元 × 300% = 827.58元。如果用人单位未支付这笔加班工资，劳动者就有权通过上述维权途径来维护自己的合法权益。

总结与建议： 元旦节不放假且没有支付三倍工资在大多数情况下是违法的，但需注意特殊工时制度的例外情况。劳动者应了解自己的权益，并在遇到问题时通过合法途径维护自身合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。