核心结论：在网上定制纸杯出现脏污情况，您有权要求商家承担相应的赔偿责任，具体赔偿方式需根据实际情况确定，一般包括更换、退货退款、赔偿损失等。

详细分析：

1. 合同关系与违约责任：

   • 您与商家之间形成了买卖合同关系。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，商家有义务按照约定的质量标准交付符合要求的商品。若纸杯出现脏污，显然不符合质量要求，商家构成违约。
   • 您有权要求商家承担违约责任，包括但不限于更换合格的纸杯、退货退款等。若因脏污纸杯给您造成了其他损失（如因使用脏污纸杯导致的健康问题产生的医疗费用等），您还有权要求商家赔偿相应损失。

2. 消费者权益保护：

   • 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的规定，消费者在购买商品时享有公平交易的权利，有权获得质量保障、价格合理、计量正确等公平交易条件。商家提供的纸杯存在脏污，侵犯了您的公平交易权。
   • 您有权向商家提出投诉，要求商家给予赔偿。若商家拒绝赔偿或赔偿不合理，您可以向消费者协会或相关行政部门投诉，甚至通过法律途径维护自己的合法权益。

3. 赔偿方式的具体确定：

   • 更换：若脏污情况不严重，且您希望继续使用该商家的纸杯，可以要求商家更换合格的纸杯。
   • 退货退款：若脏污情况严重，或您不再信任该商家的产品质量，可以要求商家退货并全额退款。
   • 赔偿损失：若因脏污纸杯给您造成了其他实际损失（如健康损害、误工费等），您有权要求商家赔偿相应损失。在主张赔偿时，建议您保留好相关证据（如照片、视频、医疗记录等），以便证明损失的存在和金额。

行动建议：

• 首先与商家沟通，明确表达您的诉求和理由，要求商家承担相应的赔偿责任。
• 若商家拒绝赔偿或赔偿不合理，您可以向消费者协会或相关行政部门投诉，寻求帮助和支持。
• 若问题仍未得到解决，您可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。

在整个过程中，建议您保持冷静和理性，依法维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。