结论：公司跟员工之间没有签订合同，并不直接决定双方是否构成雇佣关系（在劳动法领域通常称为劳动关系），关键在于双方是否实际上已经在履行劳动法所规定的权利义务。即使未签订书面劳动合同，双方仍有可能构成劳动关系；当然，也有可能构成劳务关系等其他类型的法律关系。
可能构成劳动关系的情况
符合劳动关系实质要件：
- 主体适格：公司必须是依法成立的企业，员工需达到法定就业年龄，具有劳动能力，且未超过法定退休年龄。
- 管理与被管理关系：员工需遵守公司的规章制度，接受公司的劳动管理，并从事公司安排的有报酬的劳动。例如，员工需遵循公司考勤制度，按公司安排完成任务，并定期领取工资。
- 劳动是业务组成部分：员工提供的劳动应是公司业务经营活动的有机组成部分。如公司的销售人员，其工作直接关联到公司的销售业绩和业务拓展。
实际履行劳动法权利义务：
- 即便没有书面合同，如果员工提供了劳动，公司支付了工资，且双方在实际行为中体现了劳动法的其他相关规定（如工作时间、休息休假、社会保险等），这种关系仍可被视为劳动关系。
法律后果：如果构成劳动关系，而公司未与员工签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，公司可能需要向员工支付双倍工资，并承担其他法律责任。
可能不构成劳动关系的情况
- 劳务关系：如果双方地位相对平等，不存在管理与被管理的隶属关系，且劳动报酬一般是一次性或按阶段结算，那么双方可能构成劳务关系。例如，公司临时聘请一名专家进行项目咨询，双方基于口头约定提供劳务和支付报酬。
- 承揽关系：如果员工（或称为承揽人）按照公司的要求完成工作，交付成果，并具有较强的独立性，不受公司的管理和监督，那么双方可能构成承揽关系。如广告公司委托一名自由设计师设计海报，设计师自主完成工作后交付成果并获得报酬。
法律建议
- 尽快签订合同：为明确双方权利和义务，降低法律风险，建议公司和员工在建立劳动关系后尽快签订书面劳动合同。
- 证据保留：员工可通过保存工资支付记录、工作证、考勤记录等证据来证明与公司的劳动关系。这些证据在发生劳动纠纷时将起到至关重要的作用。
- 法律咨询：如果对于双方的关系性质存在疑问或遇到劳动纠纷，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律意见和帮助。
综上所述，公司跟员工之间没有签订合同并不直接决定双方是否构成劳动关系。在实际操作中，应综合考虑双方的实际行为、权利义务的履行情况以及相关法律法规的规定来判断双方的关系性质。