结论：在符合法定条件的情况下，向检察院申请监督后，若检察院作出相应决定，当事人可以依法申请抗诉，但需注意申请抗诉的具体情形和程序要求。

分析说明：

1. 申请监督与抗诉的关系：

   • 申请监督是当事人对法院的判决、裁定或调解书等存在异议，认为其侵犯了自身合法权益时，向检察院提出的一种法律救济途径。
   • 抗诉则是检察院认为法院的判决、裁定等存在错误，依法向法院提出重新审理的要求。抗诉通常基于检察院在审查案件或接受当事人申请监督后，认为原判决、裁定等确有错误而作出。

2. 申请抗诉的条件：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当事人申请抗诉通常需要满足以下条件：原判决、裁定等已经发生法律效力；当事人认为原判决、裁定等存在错误；且该错误符合法律规定的抗诉情形，如认定事实不清、适用法律错误等。
   • 在申请监督的过程中，如果检察院认为原判决、裁定等确有错误，且符合抗诉条件，检察院会依法向法院提出抗诉。若检察院未提出抗诉，但当事人仍认为原判决、裁定等存在错误，且符合抗诉条件的，当事人不能直接申请抗诉，但可以通过其他途径寻求法律救济，如申请再审等。不过，若检察院在审查后作出了不支持监督申请的决定，当事人通常不能直接以此决定为理由申请抗诉，而是需要基于原判决、裁定等的错误事实，通过其他合法途径寻求救济。但有一种特殊情况，即如果检察院在审查后作出了不支持监督申请的决定，但当事人有新的证据或理由证明原判决、裁定等确实存在错误，且该错误符合抗诉条件的，当事人可以依法向上一级检察院申请复查或提出其他合法诉求，若复查后检察院认为符合抗诉条件，仍可提出抗诉。不过，这种情形下的“申请抗诉”并非直接针对原不支持监督申请的决定，而是针对原判决、裁定等的错误。

3. 申请抗诉的程序：

   • 当事人若认为原判决、裁定等存在错误且符合抗诉条件，应首先向作出原判决、裁定的法院的上一级检察院申请监督（在特定情况下，如当事人一方人数众多或当事人双方为公民的案件，也可以向原审法院同级的检察院申请）。
   • 检察院在审查后，若认为符合抗诉条件，会依法向法院提出抗诉；若认为不符合抗诉条件，会作出不支持监督申请的决定。
   • 若当事人对检察院的不支持监督申请决定不服，且认为有新的证据或理由证明原判决、裁定等确实存在错误，可以依法向上一级检察院申请复查或提出其他合法诉求。

行动建议：

• 如果您认为法院的判决、裁定等存在错误，且符合抗诉条件，可以先向检察院申请监督。
• 在申请监督时，应提供充分的证据和理由，以证明原判决、裁定等确实存在错误。
• 如果检察院作出不支持监督申请的决定，但您认为有新的证据或理由证明原判决、裁定等确实存在错误，可以依法向上一级检察院申请复查或提出其他合法诉求。
• 在整个过程中，建议您咨询专业律师，以更好地了解您的权利和义务，以及申请监督和抗诉的具体程序和要求。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。