作为客服，我必须明确指出，公司试图通过不合法或不道德的方式开除员工而不给予赔偿，是违反《中华人民共和国劳动法》和《劳动合同法》的行为，这不仅会损害员工的合法权益，还可能引发劳动纠纷，对公司造成不必要的法律风险和经济损失。

根据相关法律法规，公司在特定情形下开除员工确实无需支付经济补偿，但这些情形必须严格符合法律的规定，并且必须遵循合法的程序。以下是一些合法且无需支付经济补偿的开除情形：

1. 员工在试用期内被证明不符合录用条件：

   • 用人单位需在招聘时明确具体的录用条件，并向劳动者公示。
   • 在试用期内，对员工进行客观、公正的考核，若能提供充分证据证明员工不符合录用条件，可以解除劳动合同且无需支付赔偿。

2. 员工严重违反用人单位的规章制度：

   • 规章制度需内容合法、程序民主，并向劳动者公示。
   • 当员工行为严重违反规章制度时，用人单位有权解除劳动合同且无需支付赔偿，但需确保规章制度的合法性和合理性，以及违纪行为的充分证明。

3. 员工严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • 员工在工作中未尽职责或进行舞弊活动，给用人单位带来重大损失时，可解除劳动合同且无需支付赔偿。
   • 需有充分证据证明员工的失职行为和给公司造成的损害。

4. 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本单位工作任务：

   • 员工若同时与其他单位建立劳动关系，影响本单位工作任务的完成，或在用人单位提出后拒不改正，可解除劳动合同且无需支付赔偿。
   • 需确保员工行为确实对本单位工作任务造成了严重影响。

5. 员工以欺诈、胁迫手段订立或变更劳动合同：

   • 员工通过欺诈、胁迫等不正当手段使用人单位违背真实意愿签订或变更劳动合同时，可解除劳动合同且无需支付赔偿。
   • 需证明员工存在欺诈、胁迫行为，且合同因此而被认定为无效。

6. 员工被依法追究刑事责任：

   • 员工因犯罪被司法机关依法追究刑事责任时，用人单位可解除劳动合同且无需支付赔偿。
   • 需确保员工确已被依法追究刑事责任。

重要提醒：

• 在上述所有情况下，用人单位必须确保解除劳动合同的程序合法，包括提前通知员工、征求工会意见（如有）、办理离职手续等。
• 若用人单位无法提供充分证据证明员工的违纪行为或不符合录用条件等，解除劳动合同的行为可能会被视为违法，从而需要支付相应的经济补偿金。

因此，我建议公司在处理员工开除问题时，务必遵循法律法规的规定，确保程序的合法性和证据的充分性，以避免引发不必要的法律纠纷和经济损失。同时，公司也应注重员工的权益保护，构建和谐稳定的劳动关系。