当劳动合同到期，而单位选择不续签且拖延支付经济补偿时，您完全有权依据相关法律法规来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的应对步骤和建议：

一、明确法律依据与自身权益

首先，您需要了解的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意的情况外，劳动合同期满终止时，用人单位是应当向劳动者支付经济补偿的。补偿的标准是按照您在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的则支付半个月工资。这是您应得的权益，不容忽视。

二、与用人单位进行友好协商

在明确自身权益后，我建议您首先尝试与用人单位进行友好协商。您可以向用人单位说明法律规定，明确表达您要求支付经济补偿的诉求。在沟通过程中，记得保留好聊天记录、通话录音等证据，以备后续可能需要使用。

三、寻求行政帮助与调解

如果协商无果，您可以向当地的劳动行政部门进行投诉。在投诉时，您需要提交相关证据材料，如劳动合同、工资条、考勤记录等，以证明您的劳动关系及工作年限。劳动行政部门有权进行调查处理，并可以责令用人单位支付经济补偿。如果用人单位逾期不支付，劳动行政部门还可以加付赔偿金。此外，在部分地区，您还可以选择向劳动争议调解委员会申请调解，以更柔和的方式解决争议。

四、申请劳动仲裁

如果行政处理或调解未能解决问题，您可以在知道权利被侵害之日起一年内，向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提交书面仲裁申请及相关证据材料。仲裁庭将开庭审理，并根据双方提供的证据和陈述作出裁决。一般情况下，裁决应在受理申请之日起四十五日内作出，复杂案件可延期但不超过十五日。

五、向法院提起诉讼

如果您对仲裁裁决不满，或者用人单位不履行支付义务，您还可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在提起诉讼时，您需要提交起诉状及相关证据材料。法院将按照民事诉讼程序审理案件，并根据查明的事实和法律规定作出判决。判决生效后，如果用人单位仍不履行支付义务，您可以申请强制执行，法院将采取相应措施确保您的权益得到实现。

六、注意事项

在处理过程中，有几点需要您特别注意：一是要注意时效问题，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，务必在规定时效内采取行动；二是建议咨询专业劳动法律师以获取更具体、针对性的建议和指导，这将有助于您更好地维护自己的权益。

综上所述，面对劳动合同到期单位不续签且拖延支付经济补偿的情况，您应依法通过协商、投诉、仲裁、诉讼等途径来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。