当您遇到汽车抵押贷款还完但对方不给解押的情况时，这确实是一个棘手的问题，但您可以通过一系列步骤来维护自己的合法权益。以下是一套详细且有针对性的解决方案：
一、前置确认与准备
核查抵押信息：
- 首先，您需要仔细核查车辆的抵押状态及抵押权人信息。这些信息通常可以在车辆登记证书或贷款合同中找到。确保您了解抵押的具体情况和抵押权人的身份。
联系抵押权人：
- 主动与抵押权人（如银行、金融机构或私人借贷者）取得联系，了解无法解押的具体原因。可能是未结清的贷款、违约金、手续费或其他费用导致。明确问题所在是解决问题的第一步。
二、针对不同原因的解决方案
若因资料缺失或有误导致无法解押：
- 补充资料：根据抵押权人的要求，及时补充或更正所需资料，如还款证明、车辆登记证书等。如果车辆登记证书丢失，您需要携带身份证等有效证件至当地车管所申请补办。
- 紧密沟通：保持与抵押权人的密切联系，确保资料准备的准确性和完整性，以便尽快解决问题。
若因抵押机构问题导致无法解押：
- 机构失联或倒闭：如果抵押机构失联或倒闭，您可以向当地金融监管部门、工商局等机构求助，寻求协助查找抵押机构负责人或处理后续事宜。同时，考虑通过法律途径，如提起诉讼，请求法院确认抵押关系解除，并持判决书至车管所办理解押。
- 机构拖延或拒绝配合：如果抵押机构拖延或拒绝配合解押，您可以先以书面催告形式要求其配合，并告知其可能的法律后果。若催告无效，则向法院起诉，主张损失赔偿。
若存在司法纠纷导致无法解押：
- 了解纠纷详情：前往相关法院查询车辆被查封冻结的原因和案件情况。
- 积极应对纠纷：如果纠纷与您无关，您可以向法院提出执行异议，请求解除查封冻结。如果涉及原车主债务问题，您应与原车主协商解决，或依据购车合同追究其违约责任。
若因合同条款未履行导致无法解押：
- 仔细审查合同：再次检查贷款合同或抵押协议中的解押条款，确保您已满足所有条件。
- 还清债务：如果有未偿还的贷款或费用，您应尽快与抵押权人协商并清偿。这是最直接有效的解决方法。
三、通用解决步骤
沟通协商：
- 尝试与抵押权人进行面对面的交流，了解其不配合的原因，并说明及时解押的重要性及其法律义务。如果面对面沟通不便，也可以通过电话或邮件进行沟通。
索取结清证明：
- 向抵押权人索取结清证明，这是证明债务已清偿的关键文件，也是后续解除抵押的重要依据。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，抵押权人在债务清偿后应协助办理抵押注销手续。
向相关部门申请解除抵押：
- 持结清证明向抵押登记部门（如车管所）提交申请，要求解除抵押并注销他项权证。此步骤是基于法律法规的直接规定，旨在通过行政途径解决问题。
寻求第三方调解：
- 如果协商无果，您可以考虑引入中立的第三方进行调解，如行业协会或人民调解委员会。这些机构具有丰富的调解经验，能够促使双方达成一致。
采取法律手段：
- 发送律师函：委托律师发送律师函，以律师事务所和律师的名义告知对方行为的违法性，并要求其限期履行解押义务。律师函具有法律威慑力，常能促使问题快速解决。
- 提起诉讼：如果律师函无效，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。诉讼过程中需提供充分证据证明债务已清偿及对方拒绝解押的事实。法院审理后，若认定您的诉求合法，会判决对方限期办理解押手续。
- 强制执行：如果对方不履行法院判决，您可以向法院申请强制执行。法院将依法查询并执行对方财产，以确保判决得到履行。
报警及其他途径：
- 虽然直接关于抵押贷款未解押是否可以报警的法律条款并不明确，但报警可作为一种寻求帮助的方式。警方可介入调解，帮助解决纠纷。
- 同时，咨询专业律师的意见至关重要。律师可根据您的具体情况提供针对性的法律建议及解决策略。
四、后续操作与注意事项
获取书面证明：
- 一旦债务得到清偿，务必从抵押权人处获得书面的解除抵押证明。这是办理后续手续的关键文件。
前往车管所：
- 携带解除抵押证明、身份证、车辆登记证等必要文件，前往当地车管所正式办理解除抵押手续。
注意时间限制：
- 部分地区对解除抵押有特定时间要求，您应及时了解并遵守相关规定，避免延误。
保持沟通：
- 在整个过程中，与抵押权人和车管所保持积极、有效的沟通，有助于问题的快速解决。
保留证据：
- 在整个维权过程中，务必高度重视并妥善保管所有相关证据材料，包括借款协议、抵押合同、还款凭证、协商记录等。这些证据将在后续的法律程序中发挥关键作用。
综上所述，面对汽车抵押贷款还完但对方不给解押的情况，您应通过沟通协商、索取结清证明、向相关部门申请、寻求第三方调解、采取法律手段及报警等途径来维护自己的合法权益。同时，保留好所有相关证据是确保问题得到解决的关键。在整个过程中，咨询专业律师的意见将为您提供有力的法律支持。