结论前置：工作半个月没签劳动合同被辞退，是否需要赔偿需根据具体情况判断。若用人单位合法辞退，则无需支付赔偿金；若违法辞退，则需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。同时，因工作时间未满一个月，用人单位未签订书面劳动合同的行为并不违法，也无需因此承担双倍工资的责任。
详细分析：
合法辞退且无需支付赔偿金的情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若劳动者存在以下情形之一，用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金或赔偿金：
- 在试用期间被证明不符合录用条件的；
- 严重违反用人单位的规章制度的；
- 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
- 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形（如欺诈、胁迫等手段使劳动合同无效）致使劳动合同无效的；
- 被依法追究刑事责任的。
- 在上述情形下，用人单位仅需按照劳动者实际工作的天数支付工资，计算公式为：应发工资 = 日工资 × 实际工作天数（日工资 = 月工资收入 ÷ 月计薪天数21.75天）。
违法辞退需支付赔偿金的情形：
- 若用人单位辞退劳动者的行为不符合法律规定，即构成违法解除劳动合同。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。由于劳动者工作年限不满六个月，经济补偿按半个月工资计算，因此赔偿金即为一个月的工资。这里的月工资指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资；若工作不满十二个月，则按实际工作的月数计算平均工资。
- 赔偿金计算公式：赔偿金 = 月工资 × 2（因工作时间不满半年，经济补偿为半个月工资，赔偿金为经济补偿的两倍，即一个月工资）。
关于未签订劳动合同的处理：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。因此，在工作仅半个月的情况下，用人单位未与劳动者签订书面劳动合同并不违反法律规定，也无需因此支付双倍工资。
维权途径：
- 如遇此类纠纷，劳动者首先应与用人单位进行协商解决；
- 协商不成的，可以向当地的劳动监察部门进行投诉，或者依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益；
- 对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
证据保留的重要性：
- 无论何种情况，劳动者都应注重证据的保留。特别是能证明与用人单位存在劳动关系及实际用工时间的证据，如工作记录、考勤表、银行流水等。这些证据在维权过程中将起到至关重要的作用。
综上所述，工作半个月未签劳动合同被辞退的赔偿问题需根据具体情况进行判断。若用人单位合法辞退，则无需支付赔偿金；若违法辞退，则需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。同时，因工作时间未满一个月，用人单位未签订书面劳动合同的行为并不违法，也无需因此承担双倍工资的责任。在处理此类纠纷时，劳动者应依法维权，通过协商、投诉或仲裁等途径寻求合理解决方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。