结论：不可以私自采摘别人栽种在高速路边公共绿地的菜，这种行为可能涉及侵权、违反行政管理规定甚至构成犯罪，具体分析如下：
一、从侵权角度分析
所有权归属：虽然菜是栽种在高速路边的公共绿地，但菜本身作为动产，其所有权归属于栽种者。根据《中华人民共和国民法典》中关于物权的规定，所有权人对自己的不动产或者动产，依法享有占有、使用、收益和处分的权利。因此，栽种者对其栽种的菜享有所有权，他人未经允许不得擅自采摘。
侵权责任：如果私自采摘了别人栽种的菜，就侵犯了栽种者的所有权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害物权，造成权利人损害的，权利人可以依法请求损害赔偿，也可以依法请求承担其他民事责任。因此，私自采摘者可能需要承担赔偿损失等民事责任。
二、从行政管理角度分析
公共绿地管理规定：高速路边的公共绿地通常属于交通管理部门或相关政府部门的管理范围。这些部门会制定相应的管理规定，禁止在公共绿地上进行非法的种植、采摘等活动。如果私自采摘，可能违反了这些管理规定，会受到行政处罚，如罚款等。
公共安全考虑：高速路边是车辆高速行驶的区域，私自进入采摘可能危及自身安全，同时也可能影响交通秩序和公共安全。因此，从公共安全的角度出发，也不应私自采摘。
三、从刑事犯罪角度分析（极端情况）
在极端情况下，如果私自采摘的行为造成了严重的后果，如引发交通事故、导致人员伤亡等，那么采摘者还可能构成犯罪，需要承担刑事责任。虽然这种情况较为罕见，但也不能完全排除其可能性。
建议：为了尊重他人的财产权、遵守行政管理规定以及维护公共安全，请不要私自采摘别人栽种在高速路边公共绿地的菜。如果对此类行为有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。