员工与员工打架，公司是否可以开除涉事员工，需根据具体情况和法律法规综合判断，并非绝对可以或不可以。以下从多个角度进行分析：
一、合法开除的条件
规章制度明确规定：
- 公司的规章制度中必须明确将打架斗殴列为严重违纪行为，并作为开除的依据。该规章制度需经过民主程序制定，如职工代表大会讨论、与工会协商等，并已向员工公示或组织培训学习，确保员工知晓。
打架行为达严重程度：
- 员工打架行为必须达到严重影响公司秩序、生产经营或造成实质性损害的程度。轻微的争执或推搡通常不足以构成开除的条件。例如，若打架行为导致人员受伤、财产损失，或对公司声誉造成恶劣影响，则可能被视为严重违纪。
开除程序合法：
- 公司在开除员工前，应进行充分调查，了解事情经过，听取员工陈述和申辩，并告知其违纪行为和开除理由，给予合理的申辩机会。只有程序合法，才能有效避免可能的法律纠纷和赔偿责任。
二、特殊情况处理
规章制度不合理或未有效公示：
- 若公司规章制度对打架行为的规定不合理，或未按法定程序制定和公示，导致员工不知晓，则公司以此开除员工可能被认定为违法解除劳动合同。
打架情节轻微：
- 对于情节非常轻微的打架行为，如未对公司造成实质性影响，也不符合规章制度中的开除情形，公司不得贸然开除员工，否则属于违法解除。例如，员工之间因工作琐事发生轻微争执，未造成不良后果的，公司应通过批评教育、调解等方式解决，而非直接开除。
员工正当防卫或特殊原因：
- 若员工打架是为了维护公司利益或自身合法权益而与人发生矛盾，如正当防卫，公司应审慎考虑是否开除员工，以免损害员工正当权益和公司形象。
三、经济补偿问题
合法开除无需补偿：
- 若公司依据合法有效的规章制度和程序开除打架员工，则无需支付经济补偿金。
违法开除需支付补偿：
- 若公司开除行为被认定为违法，则需按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
四、建议与总结
完善规章制度：
- 公司应完善规章制度，明确打架斗殴等违纪行为的界定和处理办法，确保规章制度的合法性和有效性。
加强员工培训：
- 公司应加强员工教育培训，提高员工法律意识和职业素养，预防类似事件的发生。
建立健全纠纷解决机制：
- 公司应建立健全纠纷解决机制，及时化解员工之间的矛盾和纠纷，维护公司正常秩序和利益。
谨慎处理打架事件：
- 公司在处理员工打架事件时，应谨慎行事，确保处理结果的合法性和公正性。在决定是否开除员工时，应综合考虑事件的严重程度、影响范围以及涉事员工的态度和表现等因素。
员工与员工打架，公司是否可以开除涉事员工，需根据具体情况和法律法规综合判断。公司在处理此类事件时，应严格遵守法律法规和公司规章制度，确保程序的合法合规性；同时，也要充分考虑事件的严重程度、影响范围以及涉事员工的态度和表现等因素。只有这样，才能既维护公司的正常秩序和利益，又保障员工的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。