老板不签劳动合同且开除员工的行为，在大多数情况下是不合法的，且可能涉及多重违法情形。以下从不同角度为您详细分析：
一、不签劳动合同的违法性
法律要求：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当订立书面劳动合同。这里的“用人单位”包括企业、个体经济组织（如个体工商户）等。
- 若老板属于个体工商户或类似的经济组织，其与雇员之间构成劳动关系，必须签订书面劳动合同。
法律责任：
- 若未在规定时间内（自用工之日起一个月内）订立书面劳动合同，老板将面临法律责任。具体来说，自用工之日起超过一个月不满一年未订立书面劳动合同的，老板应向劳动者每月支付二倍的工资。
- 自用工之日起满一年仍未订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。
二、开除员工的合法性分析
合法开除的情形：
- 老板在符合《中华人民共和国劳动合同法》规定的情形下，可以开除员工，如员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等。
- 但即便在这些情形下，老板也需要依法支付员工应得的工资报酬，并可能需要根据法律规定支付经济补偿。
违法开除的情形：
- 若老板无正当理由开除员工，或开除员工的行为违反了法律规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），则构成违法开除。
- 在这种情况下，员工有权要求老板继续履行劳动合同或支付赔偿金。
三、不签劳动合同且开除员工的综合违法性
双重违法：
- 老板既未与员工签订劳动合同，又违法开除员工，这构成了双重违法。员工不仅可以要求老板支付未签订劳动合同的双倍工资，还可以要求老板支付违法开除的赔偿金。
法律救济途径：
- 员工可以首先尝试与老板进行协商，要求支付工资和赔偿金。
- 若协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉，劳动监察部门有权对老板进行调查，并责令其支付工资和赔偿金。
- 若劳动监察部门的处理未能满足员工的诉求，员工还可以向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对仲裁结果不满意的，员工可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
四、特殊情况说明
- 如果老板并非个体工商户，而是以普通自然人身份雇佣他人提供劳务（如雇人照顾老人、打扫房屋等），这种情况下双方形成的是劳务关系，而非劳动关系。劳务关系不受《中华人民共和国劳动合同法》调整，因此不强制要求签订书面合同。但即便如此，老板在开除员工时仍需支付应得的劳务报酬。
总结与建议：
老板不签劳动合同且开除员工的行为在大多数情况下是不合法的。员工在遇到此类情况时，应首先尝试与老板协商解决；若协商无果，则应及时向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，甚至提起诉讼以维护自己的合法权益。在整个过程中，保留好相关证据（如工作记录、聊天记录、工资条等）是至关重要的。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。