结论：当人去世后遗产偿还私人债务后仍不足以偿还银行债务时，银行有权就不足部分向遗产继承人主张在继承遗产实际价值范围内承担清偿责任；若继承人放弃继承，则对被继承人债务可不负偿还责任；若遗产实际价值不足以清偿全部债务，对于不足部分继承人无自愿偿还义务，但银行可参与遗产分配程序争取受偿。以下为详细分析：

1. 继承人继承遗产情况下的债务承担

   • 根据我国《民法典》第一千一百六十一条规定：“继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。”这意味着，当去世者有银行债务未清偿时，银行作为债权人，有权要求其继承人在继承的遗产实际价值范围内承担清偿责任。例如，去世者遗产经评估价值为50万元，私人债务偿还后剩余30万元，而银行债务为40万元，那么继承人最多只需用这30万元遗产来偿还银行债务，对于超出的10万元，除非继承人自愿偿还，否则银行不能强制要求继承人承担。
   • 在实际操作中，继承人需要在合理期限内对遗产进行清理和评估，确定遗产的实际价值，并按照法定顺序和比例清偿债务。如果存在多个债权人，包括银行和其他私人债权人，遗产的清偿需要按照法定程序进行分配，通常按照债务的性质和比例来清偿。

2. 继承人放弃继承情况下的债务处理

   • 若继承人选择放弃继承遗产，依据法律规定，其对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。在这种情况下，银行就不能向放弃继承的继承人主张债权，而只能通过参与遗产分配程序，从剩余的遗产中受偿。例如，去世者有多个子女作为继承人，其中一个子女明确表示放弃继承，那么该子女就无需承担去世者的银行债务清偿责任，银行只能向其他未放弃继承的子女在继承遗产范围内主张债权，若其他子女继承的遗产也不足以清偿债务，银行只能就剩余遗产受偿。

3. 遗产实际价值不足以清偿全部债务的情况

   • 当去世者的遗产在偿还私人债务后，剩余价值不足以清偿银行债务时，对于不足部分，继承人没有法定的偿还义务，除非继承人自愿偿还。银行作为债权人，只能按照法律规定参与遗产分配程序，按照一定的顺序和比例从剩余遗产中受偿。例如，去世者遗产偿还私人债务后仅剩10万元，而银行债务为20万元，继承人无需对这10万元以外的10万元债务承担责任，银行只能就这10万元遗产按照法定程序受偿，若还有其他债权人，银行可能无法全额受偿。

在处理此类遗产债务问题时，情况往往较为复杂，涉及到遗产的评估、债务的清理、继承人的意愿等多个方面。如果你遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细、准确的法律解答。