在以下情况下，当事人可以申请重新进行司法鉴定：
鉴定人不具备相应资格：
- 情形说明：鉴定人必须具备解决案件中专门性问题的专业知识和技能，并需获得相关资质认证。若鉴定人未取得必要资格证书，或其专业领域与所鉴定事项不符，其鉴定意见将缺乏专业性和权威性。例如，医疗事故鉴定应由具有医学专业知识和临床经验的医生或专家进行。若鉴定人不具备相应资格，当事人有权申请重新鉴定。
- 法律依据：根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十条，若鉴定人不具备相应资格的，当事人可以申请重新鉴定。
鉴定机构超出业务范围：
- 情形说明：如果鉴定机构或鉴定人员进行了超出其登记业务范围的鉴定，该鉴定结果同样可能无法被认可。例如，一个仅具备文书鉴定资质的机构进行了毒物鉴定，这超出了其业务范围，构成申请重新鉴定的理由。
- 法律依据：同样依据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》的相关精神，超出业务范围的鉴定属于不合法鉴定，当事人可以申请重新鉴定。
鉴定程序严重违法：
- 情形说明：鉴定程序的合法性是确保鉴定结果公正、准确的关键。以下情况属于鉴定程序严重违法：违反回避制度（鉴定人与案件当事人存在利害关系时未依法回避）；违反保密义务等（鉴定人在鉴定过程中违反了保密义务或其他法定程序）；技术标准和操作规范不符合要求（样本采集、保存、检测等环节未按规定的技术标准和操作规范进行）。
- 法律依据：根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十条，若鉴定程序严重违法的，当事人可以申请重新鉴定。
鉴定意见明显依据不足或矛盾：
- 情形说明：鉴定意见应有充分、合理的科学依据和事实基础。若鉴定所依据的资料不完整、不准确，或运用的鉴定方法不科学、不合理，导致鉴定意见缺乏说服力；或者鉴定结论与其他证据存在明显矛盾，也需要考虑重新进行司法鉴定。
- 法律依据：依据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十条，若鉴定意见明显依据不足的，或鉴定意见不能作为证据使用的其他情形（包括鉴定意见存在逻辑矛盾、表述模糊不清等），当事人可以申请重新鉴定。
鉴定过程中的不当行为：
- 情形说明：如果当事人有证据证明鉴定人在鉴定过程中存在徇私舞弊、弄虚作假等行为，或者鉴定人因故意或重大过失导致鉴定意见出现错误，并且这种错误造成了严重后果的，这些都会影响到鉴定结果的公正性和准确性，因此也可以申请重新鉴定。
- 法律依据：虽然具体条款未直接以“徇私舞弊、弄虚作假”或“故意或重大过失导致错误”为由列出重新鉴定的情形，但基于证据的有效性和合法性原则，以及司法实践的通常做法，此类情况下当事人有权申请重新鉴定。
申请重新鉴定的注意事项：
- 遵守法律程序和规定：在申请重新鉴定时，当事人需遵守相关法律程序和规定，确保申请的合法性和有效性。
- 提供充分证据和理由：为增加重新鉴定的成功率，当事人应尽可能提供充分的证据和理由来支持自己的申请，如原鉴定意见的瑕疵证明、新证据的提供等。
- 费用处理：若存在上述申请重新鉴定的情形，鉴定人已经收取的鉴定费用应当退还。拒不退还的，将依照相关规定处理。同时，对鉴定意见的瑕疵，若能通过补正、补充鉴定或补充质证等方法解决，人民法院将不予准许重新鉴定的申请。重新鉴定后，原鉴定意见不得作为认定案件事实的根据。
综上所述，当事人在面临鉴定意见可能存在问题时，应仔细分析是否存在上述申请重新鉴定的情形，并依法提出申请，以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。