关于当事人申请延期缴纳罚款后，行政机关申请强制执行的期限计算问题，这是一个涉及行政处罚法与行政强制法相关规定的重要法律实务点。以下，我将为您详细解析这一期限的计算方式：

一、核心结论

行政机关在批准当事人延期或分期缴纳罚款后，其申请强制执行的期限，是从暂缓或者分期缴纳罚款的期限结束之日起开始计算的。这一规定既体现了法律对当事人经济困难的合理考量，也确保了行政处罚决定的最终执行力。

二、期限计算的具体规则

1. 未另行规定履行期限的情形：

   • 如果在批准延期或分期缴纳罚款的决定中，行政机关并未明确设定新的履行期限，那么申请强制执行的期限将依然从原罚款决定所规定的履行期限届满之日起算。例如，原决定要求15日内缴纳罚款，若延期或分期申请获批准但未重新设定期限，则强制执行申请期限从原15日期满开始计算。

2. 另行规定履行期限的情形：

   • 若批准延期或分期缴纳罚款的决定中，行政机关与当事人协商确定了新的履行期限，那么申请强制执行的期限则从这一新设定的履行期限届满之日起计算。这意味着，新的履行期限成为了强制执行申请的新起算点。

三、法律依据与操作要点

• 法律依据：根据《中华人民共和国行政处罚法》第七十二条第二款及《行政强制法》第五十三条的相关规定，当事人在法定期限内不申请行政复议或提起行政诉讼，且未履行行政决定的，行政机关可自期限届满之日起3个月内申请人民法院强制执行。在延期或分期缴纳罚款的情况下，“期限届满之日”特指暂缓或分期缴纳罚款的期限结束之日。
• 操作要点：行政机关在批准延期或分期缴纳罚款时，应充分考虑当事人的实际经济状况和支付能力，合理设定期限。同时，为避免申请执行超期带来的执法风险，行政机关应与属地人民法院保持密切沟通，确保申请强制执行时不会因期限问题而受阻。

四、实际案例说明

以某企业因违反环保法规被处以10万元罚款为例，原决定要求30日内缴纳。但因企业经营困难，无法按时缴纳，故向行政机关提出延期分期缴纳申请并获批准，设定为6个月内分期缴纳。若该企业在6个月内未能按时足额缴纳，则行政机关有权在分期缴纳期限结束后，依据《行政强制法》申请人民法院强制执行，此时强制执行期限即从分期缴纳期限结束之日起计算。

综上所述，批准延期或分期缴纳罚款后，行政机关申请强制执行的期限是从暂缓或分期缴纳罚款的期限结束之日起计算的。这一规定既体现了法律的灵活性，也确保了行政处罚决定的严肃性和执行力。