护士在发现患儿住院期间私自回家时，应采取以下措施进行处理：

1. 立即上报并记录：

   • 护士在发现患儿未在病房且未经允许私自回家时，应第一时间上报给主管医生或护士长，确保信息及时传递。
   • 同时，护士应在护理记录中详细记录患儿离院的时间、发现离院时的状况以及已采取的措施，为后续处理提供依据。

2. 联系患儿家属：

   • 护士应尽快通过电话或其他方式联系患儿家属，告知患儿离院的情况，并询问家属是否知晓患儿离院及离院原因。
   • 若家属不知情或无法联系，护士应进一步采取措施，如联系医院保卫部门或报警，以确保患儿安全。

3. 评估患儿安全风险：

   • 护士应与医生共同评估患儿离院可能带来的安全风险，如病情恶化、意外伤害等。
   • 根据评估结果，制定相应的应对措施，如加强病房监护、准备急救设备等。

4. 遵循医院规章制度：

   • 护士应严格遵守医院的规章制度，对于患儿私自离院的行为，应按照医院规定进行处理，如填写不良事件报告表、参与讨论改进措施等。
   • 同时，护士也应向患儿及家属宣传医院规章制度，强调住院期间不得私自离院的重要性。

5. 法律责任与风险防范：

   • 从法律角度来看，护士有义务确保患儿在住院期间的安全。若因护士疏忽导致患儿离院后发生意外，护士及医院可能需承担相应的法律责任。
   • 因此，护士应加强风险防范意识，定期巡查病房，确保患儿在院安全。同时，医院也应完善相关管理制度，降低此类事件的发生概率。