结论：公司发出终止劳动合同通知书后，员工刚好进入医疗期，员工能否要求双倍赔偿需分情况讨论，一般情况下不能直接要求双倍赔偿，但在特定违法情形下可能获得赔偿金（非严格意义上的“双倍赔偿”表述，但性质类似）。

情况一：公司合法终止劳动合同，员工进入医疗期

如果公司在发出终止劳动合同通知书时，并不知晓员工即将进入医疗期，且该终止行为本身符合《劳动合同法》的相关规定（例如，因劳动合同期满、员工达到法定退休年龄等法定终止情形），那么公司的终止行为是合法的。在此情况下，员工进入医疗期并不影响劳动合同的终止效力，员工不能要求公司支付双倍赔偿。

法律依据：

• 《劳动合同法》第四十四条：有下列情形之一的，劳动合同终止：（一）劳动合同期满的；（二）劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的；（三）劳动者死亡，或者被人民法院宣告死亡或者宣告失踪的；（四）用人单位被依法宣告破产的；（五）用人单位被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者用人单位决定提前解散的；（六）法律、行政法规规定的其他情形。

情况二：公司违法终止劳动合同，员工进入医疗期

如果公司在员工医疗期内，以非法定理由（如员工患病或非因工负伤在规定的医疗期内等）终止劳动合同，那么公司的行为构成违法终止。根据《劳动合同法》的相关规定，员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的计算标准为经济补偿标准的二倍。虽然这并非严格意义上的“双倍赔偿”在所有语境下的直接对应（因为“双倍赔偿”可能让人误解为仅指赔偿金是经济补偿的两倍，而实际上赔偿金是基于违法终止这一事实而产生的，其计算基础是经济补偿标准），但在性质上，员工确实可以获得相当于经济补偿两倍的赔偿。

法律依据：

• 《劳动合同法》第四十二条：劳动者有下列情形之一的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同：……（三）患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的；……
• 《劳动合同法》第四十八条：用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
• 《劳动合同法》第八十七条：用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
• 《劳动合同法》第四十七条：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

特殊情况说明

如果公司在发出终止劳动合同通知书时，虽然员工尚未进入医疗期，但公司明知或应知员工即将进入医疗期（例如，员工已提交病假申请或医疗证明等），而仍然选择终止劳动合同，这种行为可能被视为恶意规避法律义务，也可能构成违法终止。在此情况下，员工同样有权要求公司支付赔偿金。

建议：

1. 收集证据：员工应收集与医疗期、劳动合同终止相关的所有证据，包括医疗证明、劳动合同、终止通知书等。
2. 协商解决：尝试与公司进行协商，看是否能够达成和解协议，避免法律纠纷。
3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。
4. 提起诉讼：对劳动仲裁结果不服的，员工可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

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