结论：针对您描述的情况，对方可能涉嫌敲诈勒索，但具体是否构成犯罪以及您的法律责任，需结合实际情况综合判断。以下从多个角度为您详细分析：
一、对方行为是否构成敲诈勒索罪
敲诈勒索罪的构成要件：
- 主观方面：以非法占有为目的，意图通过威胁、要挟等手段迫使被害人交出财物。
- 客观方面：实施了威胁、要挟等行为，且数额较大或多次敲诈勒索。
结合您的情况分析：
- 若对方以“被打伤需要赔偿”为由，提出明显超出合理范围的赔偿要求，并威胁如果不满足将采取进一步行动（如报警、曝光等），则可能构成敲诈勒索。
- 若对方仅要求合理赔偿（如医疗费、误工费等），且未使用威胁、要挟手段，则不构成敲诈勒索。
二、您的法律责任
故意伤害罪的构成风险：
- 主观方面：您需具有故意伤害他人的故意。
- 客观方面：您实施了打人行为，且对方因您的行为受伤住院。
- 若对方伤情经鉴定达到轻伤及以上，您可能涉嫌故意伤害罪，需承担刑事责任。
正当防卫的认定：
- 若对方在回头找事时，对您实施了不法侵害（如殴打、辱骂等），您为保护自身或他人合法权益而采取的防卫行为，若未明显超过必要限度，可能构成正当防卫，不负刑事责任。
- 但需注意：正当防卫的认定需严格符合法律条件，如防卫时机、防卫手段、防卫限度等。
民事赔偿责任：
- 无论是否构成犯罪，您均可能需承担对方因受伤而产生的合理医疗费、误工费等民事赔偿责任。
- 若对方存在过错（如先动手、挑衅等），可减轻您的赔偿责任。
三、应对建议
收集证据：
- 立即收集现场监控录像、证人证言等证据，以证明对方是否存在挑衅、威胁等行为。
- 保留对方提出的赔偿要求、聊天记录等书面证据。
报警处理：
- 若对方涉嫌敲诈勒索，您可向公安机关报案，由公安机关立案侦查。
- 若您涉嫌故意伤害，也需主动向公安机关说明情况，配合调查。
协商解决：
- 在证据充分的情况下，您可与对方协商赔偿事宜，但需确保赔偿金额合理，避免被对方敲诈。
- 协商过程中，可邀请第三方（如律师、调解员等）参与，以确保协商的公平性和合法性。
法律咨询：
- 鉴于案件涉及刑事犯罪和民事赔偿，建议您尽快咨询专业律师，以便更全面地了解您的法律权利和义务。
最后，每个案件的具体情况均有所不同，以上分析仅供参考。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。