行政机关在民事案件中败诉后的赔偿，原则上由行政机关自身承担，具体支付方式及责任归属需根据案件具体情况和法律规定来确定。以下从不同角度进行分析：
一、行政机关作为民事主体参与诉讼的情况
当行政机关以民事主体的身份参与诉讼，例如因合同纠纷、侵权纠纷等被起诉时，如果败诉，其赔偿责任的承担与普通民事主体无异。即，行政机关需按照法院判决或调解书的内容，自行承担赔偿责任，支付相应的赔偿金。这种情况下，赔偿金的来源通常是行政机关的财政资金，但具体支付流程可能因行政机关的财务管理制度和内部规定而有所不同。
二、行政机关因违法行政行为导致民事赔偿的情况
如果行政机关的行政行为被认定为违法，且该违法行政行为导致了公民、法人或其他组织的合法权益受损，进而引发民事赔偿诉讼，那么行政机关在败诉后，其赔偿责任可能涉及国家赔偿。但需要注意的是，国家赔偿与民事赔偿在性质、程序等方面存在显著差异。
国家赔偿：根据《中华人民共和国国家赔偿法》的规定，行政机关及其工作人员在行使行政职权时，有侵犯公民、法人和其他组织合法权益的情形，造成损害的，受害人有依照本法取得国家赔偿的权利。在这种情况下，如果行政机关败诉，赔偿义务机关（即行政机关）需按照国家赔偿法的规定，向受害人支付赔偿金。赔偿金的来源通常是国家财政，但具体支付流程需遵循国家赔偿法的相关规定。
民事赔偿与国家赔偿的区分：并非所有因行政机关行为导致的民事赔偿都适用国家赔偿。只有当行政机关的行政行为被认定为违法，且该行为直接导致了损害结果时，才可能涉及国家赔偿。如果行政机关的行为虽然与损害结果有关，但并未被认定为违法，或者损害结果并非由行政行为直接导致，那么可能仍需通过民事诉讼程序来解决赔偿问题，此时行政机关需自行承担赔偿责任。
三、特殊情况下的责任归属
在某些特殊情况下，如行政机关委托的组织或个人在行使委托职权时造成损害，或者行政机关工作人员在执行职务时因故意或重大过失造成损害等，责任归属可能更为复杂。这些情况下，可能需要根据具体法律规定和案件事实来确定赔偿责任的具体承担者。例如，如果行政机关委托的组织或个人在行使委托职权时造成损害，且该组织或个人具有独立承担民事责任的能力，那么赔偿责任可能由该组织或个人承担；如果行政机关工作人员在执行职务时因故意或重大过失造成损害，且该行为超出了职务范围或违反了职务规定，那么赔偿责任可能由该工作人员个人承担或部分承担。
总结与建议：
行政机关在民事案件中败诉后的赔偿责任承担问题，需根据案件具体情况和法律规定来确定。如果行政机关作为民事主体参与诉讼并败诉，其赔偿责任通常由自身承担；如果因违法行政行为导致民事赔偿且符合国家赔偿条件，则可能涉及国家赔偿；在特殊情况下，责任归属可能更为复杂。因此，在处理此类问题时，建议行政机关及时咨询专业律师，以便准确判断责任归属并采取相应的法律措施。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。