保险公司本身无权直接要求监管部门调查司机是否从事网约车运营，但可通过合法途径申请或举报，由相关部门依职权开展调查。以下从不同角度展开分析：
保险公司的权利边界
保险公司作为商业主体，其核心权利是依据保险合同条款处理理赔事宜。若怀疑投保人隐瞒网约车运营事实（可能影响保费或理赔），保险公司可要求投保人提供相关证明（如行驶证使用性质、网约车平台接单记录等），或通过法律程序申请法院调查取证。但直接要求行政监管部门介入调查，超出其法定权限，需通过合规渠道申请。
监管部门的调查职权
交通、公安等监管部门对网约车运营的调查权源于《网络预约出租汽车经营服务管理暂行办法》等法规，主要针对未取得运营资质、违反安全规定等违法行为。若保险公司发现司机涉嫌非法运营（如未办理《网络预约出租汽车运输证》），可向当地交通执法部门举报，由部门依职权调查，而非保险公司“要求”调查。
保险合同中的关键条款
若司机将私家车用于网约车运营但未告知保险公司，可能违反保险合同中的“车辆使用性质变更”条款。此时保险公司有权拒赔或调整保费，但需通过合法证据证明司机存在隐瞒行为。若证据不足，保险公司可能需通过诉讼或申请行政协助（如向监管部门调取运营记录）来固定证据。
建议：若您是保险公司，发现司机可能隐瞒网约车运营事实，可先通过合同条款要求司机配合提供证明；若怀疑非法运营，可向交通部门举报。若您是司机，需注意保险合同中关于车辆使用性质的约定，避免因隐瞒导致理赔纠纷。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。