当庭变更诉讼请求要求第三人承担连带责任时，一般不能直接申请新的答辩期，但法院会根据具体情况决定是否给予对方准备时间。以下是对此问题的详细分析：
法律依据与原则
在民事诉讼中，当事人有权在法庭辩论终结前变更诉讼请求，这是《中华人民共和国民事诉讼法》赋予当事人的诉讼权利。然而，这一权利的行使并非无限制，它应当遵循诚实信用原则，不得滥用诉讼权利，损害对方当事人的合法权益。当一方当事人当庭变更诉讼请求，特别是要求第三人承担连带责任时，这通常会对案件的审理产生重大影响，因为第三人可能需要重新准备证据、调整答辩策略等。
法院的自由裁量权
一般情况：在大多数情况下，当庭变更诉讼请求并不会自动导致新的答辩期的产生。法院会根据案件的具体情况，如变更诉讼请求的复杂程度、对案件审理进度的影响、对方当事人的准备情况等，来决定是否给予对方当事人新的准备时间。
特殊情况：如果变更后的诉讼请求涉及复杂的法律关系或事实认定，且对方当事人确实需要更多时间来准备答辩，法院可能会考虑给予一定的答辩期。但这种情况并非绝对，法院会综合考量各种因素后作出决定。
实务建议
提前准备：作为原告或变更诉讼请求的一方，在提出变更请求前，应尽可能充分地准备相关证据和法律依据，以减少对案件审理进度的影响。
沟通协商：在变更诉讼请求前，可以尝试与对方当事人进行沟通协商，了解其对此的看法和准备情况。如果对方表示需要更多时间准备答辩，可以在提出变更请求时一并向法院说明，请求法院给予适当的准备时间。
尊重法院决定：无论法院是否给予新的答辩期，都应尊重法院的决定，并积极配合法院的审理工作。如果法院决定不给予新的答辩期，应尽快调整诉讼策略，确保在庭审中能够充分阐述自己的观点和理由。
可能的法律后果
如果法院决定不给予新的答辩期，而对方当事人因未充分准备而未能有效答辩，这可能会对其在案件中的权益产生不利影响。然而，这并不意味着对方当事人就必然承担不利的法律后果，因为法院在审理案件时会综合考虑各种因素，包括双方当事人的陈述、证据等，来作出公正的裁决。
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