结论前置：十级工伤恢复后，公司在大多数情况下不能随意辞退员工，但存在特定情形时可以依法解除劳动合同。若公司违法辞退，则需承担法律责任。

一、公司不得随意辞退的情形及法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，对于在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的员工，用人单位不得依照该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。十级工伤属于部分丧失劳动能力的情况，因此，公司不能以不胜任工作、客观情况发生重大变化或经济性裁员等理由来辞退该员工。

二、公司可以依法解除劳动合同的情形

尽管有上述保护规定，但如果工伤十级伤残的员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的严重过错情形，公司仍有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。这些过错情形包括但不限于：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件；
2. 严重违反用人单位的规章制度；
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经用人单位提出后拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫的手段或乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同；
6. 被依法追究刑事责任。

三、劳动合同期满或员工主动解除的情况

1. 劳动合同期满：若劳动合同期满且未续签，或职工本人提出解除劳动合同，公司可以与其解除劳动关系，但需按照省、自治区、直辖市人民政府的规定支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金。
2. 员工主动提出：若员工主动向公司提出解除劳动合同，公司同样需支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金，但无需支付其他经济补偿。

四、公司违法辞退的法律责任

如果公司违反《中华人民共和国劳动合同法》的规定，擅自辞退工伤十级的员工，员工有权要求继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，公司需依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准通常根据员工在公司的工作年限和月工资来确定。

五、特殊情况下的处理建议

如果员工因工伤导致不能胜任原来的工作，公司应首先考虑通过培训或调整工作岗位来帮助员工继续工作。若经过培训或调整岗位后仍不能胜任，公司需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资后，才能解除劳动合同，并依法支付经济补偿。

总结与建议：公司在处理十级工伤恢复后员工的辞退问题时，应严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，确保员工的合法权益得到保障。同时，公司也应根据实际情况灵活应对，为员工提供必要的支持和帮助，以维护良好的劳动关系。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。