不小心破坏公共设施后，你应当采取以下措施来妥善处理这一问题：

1. 立即停止损害并保护现场

   • 一旦发现非故意损坏了公共设施，应立即停止任何可能加剧损害的行为，比如继续移动或触碰已损坏的部分，以防止损失进一步扩大。
   • 在管理部门人员到达之前，尽力保护损坏现场。如果现场存在安全隐患，如破碎的玻璃、散落的碎片等，要尽快采取措施消除这些隐患，比如设置警示标志，确保周围人员保持安全距离，避免发生二次事故。

2. 及时报告并通知相关部门

   • 尽快向负责该公共设施的管理部门报告损坏情况。这通常涉及确定正确的管理主体，例如市政道路设施由市政管理部门负责，小区内设施则由物业管理公司管理等。报告方式可包括拨打市政服务热线、物业电话等。
   • 同时，如果损坏情况较为严重，可能影响到公共安全或交通秩序，还应及时拨打报警电话（如110），向警方说明事故发生的时间、地点以及大致情况。

3. 配合管理部门的后续处理

   • 向管理部门工作人员如实陈述事件发生的经过，强调非故意性，并提供详细的时间、地点、经过等信息。
   • 管理部门将评估公共设施的损坏程度及修复费用。在此过程中，应积极配合，提供必要的协助，如提供目击者信息、监控录像等。如果对赔偿金额有异议，可以与管理部门进行协商，要求其提供详细的费用计算依据和清单。

4. 承担赔偿责任

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十四条的规定，即使非故意损坏，也可能需要承担赔偿责任。赔偿金额通常按损失发生时的市场价格或其他合理方式计算。
   • 按照管理部门的要求，支付相应的赔偿费用。赔偿方式可以是现金支付、转账支付等。在支付赔偿费用后，务必索取正规的收据或发票作为已履行赔偿义务的凭证。

5. 保险理赔（如有相关保险）

   • 如果你购买了相关保险，如车辆保险中的第三者责任险等，且该保险覆盖了公共设施损坏的赔偿责任，那么你可以尽快向自己的保险公司报案，告知他们事故的详细情况。
   • 根据保险公司的要求，提供事故证明（如警方的出警记录）、公共设施管理部门的损失评估报告、赔偿凭证等相关材料。
   • 配合保险公司进行定损和理赔流程，按照他们的要求完成各项手续，以便获得相应的保险赔偿。

6. 了解法律责任与应对策略

   • 非故意损坏公共设施也可能承担法律责任，具体取决于损坏程度、具体情况及相关法律法规。如果损坏情况严重，可能涉及行政处罚甚至刑事责任（如故意毁坏财物罪，但非故意通常不构成此罪，但需注意过失损坏公共设施可能涉及的其他责任）。
   • 建议及时咨询我，以更准确地了解自己的法律责任和应对策略。

7. 对处理结果的异议与救济途径

   • 若与行政部门就赔偿问题存在争议，且认为行政决定侵犯了合法权益，可在规定期限内（一般为自知道行政行为之日起六十日内）向上一级行政机关或本级人民政府申请行政复议。
   • 若与管理部门无法协商解决赔偿纠纷，可向人民法院提起民事诉讼，由法院根据双方证据和法律规定作出公正判决。

总结：不小心破坏公共设施后，最重要的是要诚实面对、积极应对。通过立即停止损害、及时报告、保护现场、配合处理、承担赔偿责任、利用保险以及了解法律责任和救济途径等措施，可以最大限度地减轻损失和影响，同时遵守相关法律法规，维护个人和社会的和谐稳定。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。