在没有申请人申请重新鉴定的情况下，司法机关自行出示鉴定意见是否合法，需分情况讨论：
- 司法机关依职权启动鉴定程序
在刑事诉讼中，根据《刑事诉讼法》及相关司法解释，司法机关（如公安机关、检察机关、审判机关）在侦查、审查起诉或审判阶段，若认为案件中的专门性问题需要鉴定，且该鉴定对于查明案件事实、正确适用法律具有关键作用，可以依职权启动鉴定程序。这种情况下，即使没有申请人申请重新鉴定，司法机关也可以自行委托鉴定机构进行鉴定，并出示鉴定意见。这种做法是合法的，因为司法机关有权为了查明案件事实而采取必要的调查措施。
司法机关在特定情形下依职权启动重新鉴定
- 原鉴定意见存在瑕疵或错误：如果原鉴定意见在程序上存在违法情形，如鉴定人应当回避而未回避、鉴定程序严重违法等，或者鉴定意见在实体上存在明显错误，如鉴定方法不科学、鉴定结论与案件事实明显不符等，司法机关可以依职权启动重新鉴定程序，并出示新的鉴定意见。
- 当事人提出异议且理由充分：虽然当事人没有直接申请重新鉴定，但如果其对原鉴定意见提出异议，并且异议理由充分、合理，司法机关认为有必要进行重新鉴定的，也可以依职权启动重新鉴定程序。不过，这种情况更接近于司法机关对当事人异议的回应，而非完全无申请人申请的情况。
- 案件处理需要：在某些特殊情况下，如案件涉及重大公共利益、社会影响广泛等，司法机关为了确保案件处理的公正性和准确性，可能会依职权启动重新鉴定程序。
司法机关无权自行启动鉴定或重新鉴定的情形
- 非法定职权范围：如果司法机关的职权范围并不包括对特定事项的鉴定或重新鉴定，那么其自行启动鉴定或重新鉴定程序就是违法的。例如，某些专门性问题可能需要由特定的专业机构或专家进行鉴定，司法机关无权自行决定。
- 违反法定程序：即使司法机关有权启动鉴定或重新鉴定程序，但如果其违反了法定程序，如未依法通知当事人、未依法委托鉴定机构等，那么其出示的鉴定意见也可能被视为非法。
法律建议：
- 对于当事人而言，如果对司法机关出示的鉴定意见有异议，应当及时提出并说明理由。如果认为司法机关无权自行启动鉴定或重新鉴定程序，或者鉴定程序存在违法情形，可以通过合法途径进行申诉或控告。
- 对于司法机关而言，应当严格遵守法定程序和职权范围，确保鉴定或重新鉴定程序的合法性和公正性。在出示鉴定意见时，应当确保鉴定意见的合法性、科学性和客观性。
可能法律后果：
- 如果司法机关自行出示的鉴定意见被认定为非法或无效，那么该鉴定意见将不得作为定案的根据。这可能导致案件事实无法查明或认定错误，进而影响案件的公正处理。
- 如果司法机关违反法定程序或职权范围启动鉴定或重新鉴定程序，还可能面临内部纪律处分或外部法律监督的追责。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。