若犯罪嫌疑人或被告人被依法延长羁押期限至30天，后续处理需根据案件所处阶段及具体情况而定，以下是详细说明：

1. 侦查阶段延长羁押期限至30天后的处理
   根据《刑事诉讼法》第九十一条，公安机关对被拘留的犯罪嫌疑人，认为需要逮捕的，应在拘留后3日内提请检察院审查批准；特殊情况下可延长1-4日；对流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，可延长至30日。若检察院在7日内未批准逮捕，公安机关需立即释放或变更强制措施（如取保候审、监视居住）。若批准逮捕，则羁押期限继续计算，后续可能因案件复杂程度再次延长（如侦查羁押期限届满前可报请上级检察院批准延长1-2个月）。

2. 审查起诉阶段延长羁押期限至30天后的处理
   检察院审查起诉期限一般为1个月，重大复杂案件可延长15日。若案件需补充侦查，检察院可退回公安机关补充侦查（每次1个月，以2次为限），补充侦查后重新计算审查起诉期限。若检察院认为证据不足或不符合起诉条件，可作出不起诉决定，此时需立即释放犯罪嫌疑人；若决定起诉，则将案件移送法院，进入审判阶段。

3. 审判阶段延长羁押期限至30天后的处理
   法院审理公诉案件的期限一般为2个月，至迟不超过3个月；可能判处死刑或附带民事诉讼、交通不便等特殊情况，可经上级法院批准延长3个月；因特殊情况还需延长的，需报请最高法院批准。若法院在审限内未宣判，需依法办理延期手续；若判决无罪或缓刑，被告人可当庭释放；若判处有期徒刑，剩余刑期不足3个月的，由看守所代为执行；剩余刑期超过3个月的，需转移至监狱服刑。

特别提醒：

• 羁押期限的延长需严格依法定程序进行，任何单位或个人不得擅自延长。
  
• 若您或家属认为羁押期限违法延长，可委托律师向办案机关提出异议，或向检察院申请立案监督。
  
• 羁押期间，犯罪嫌疑人或被告人有权委托律师会见、申请取保候审、提出申诉或控告。
  

如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我咨询。