供货商名称变更的审核部门主要取决于其变更的性质和类型，一般来说，若供货商为企业法人，其名称变更需由市场监督管理部门（原工商行政管理部门）审核。以下是对此问题的详细分析：
一、企业法人名称变更的审核部门
市场监督管理部门：
- 根据《中华人民共和国公司法》及相关法律法规，企业法人的名称变更属于公司登记事项的变更，应当依法向公司登记机关（即市场监督管理部门）申请变更登记。
- 市场监督管理部门负责审核企业法人的名称变更申请，确保变更后的名称符合法律法规的规定，不侵犯他人权益，且未与已登记的企业名称重复。
审核流程：
- 供货商需准备相关材料，如变更申请书、股东会或董事会决议、公司章程修正案等，向市场监督管理部门提交名称变更申请。
- 市场监督管理部门在收到申请后，会进行形式审查和实质审查，确认申请材料的真实性和合法性。
- 审核通过后，市场监督管理部门会颁发新的营业执照，供货商即完成名称变更。
二、其他类型供货商名称变更的审核部门
个体工商户：
- 如果供货商为个体工商户，其名称变更同样需要向市场监督管理部门申请变更登记。
- 个体工商户的名称变更流程相对简单，但仍需遵守相关法律法规的规定。
其他组织类型：
- 对于其他类型的供货商，如合伙企业、个人独资企业等，其名称变更的审核部门也可能因组织类型和地区差异而有所不同。
- 一般来说，这些类型的供货商也需要向相应的登记机关（如市场监督管理部门或民政部门等）申请名称变更登记。
三、名称变更后的合同履行问题
合同继续履行：
- 供货商名称变更后，原合同仍然有效，双方应继续履行合同义务。
- 供货商应以新名称继续履行合同，并确保合同履行的质量和效率不受影响。
合同变更或补充协议：
- 如果双方认为有必要，可以就名称变更事宜签订合同变更协议或补充协议，明确双方的权利和义务。
- 变更协议或补充协议应经双方协商一致，并符合法律法规的规定。
四、建议与注意事项
及时办理变更登记：
- 供货商在名称变更后，应及时向相关登记机关办理变更登记手续，确保合法合规经营。
通知合同相对方：
- 供货商应将名称变更事宜及时通知合同相对方，避免因信息不畅导致合同履行出现问题。
保留相关证据：
- 供货商在办理名称变更过程中，应保留好相关证据材料，如变更申请书、审核意见、新营业执照等，以备不时之需。
若供货商在名称变更过程中遇到任何法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。