要求行政机关履行法定职责的法律依据主要来源于法律法规的明确规定，以及公民依法享有的权利与行政机关依法承担的义务。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、法律法规的明确规定
宪法依据：
- 我国《宪法》第四十一条规定：“中华人民共和国公民对于任何国家机关和国家工作人员，有提出批评和建议的权利；对于任何国家机关和国家工作人员的违法失职行为，有向有关国家机关提出申诉、控告或者检举的权利，但是不得捏造或者歪曲事实进行诬告陷害。”这一条款为公民要求行政机关履行法定职责提供了宪法层面的依据。
部门法依据：
- 具体到各个部门法，如《行政许可法》、《行政处罚法》、《行政强制法》等，均对行政机关的法定职责进行了详细规定。例如，《行政许可法》规定了行政机关在行政许可方面的职责，包括受理、审查、决定等环节；《行政处罚法》则明确了行政机关在行政处罚方面的职权和程序。
二、公民依法享有的权利与行政机关依法承担的义务
公民权利：
- 公民有权要求行政机关依法履行其法定职责，这是公民依法享有的基本权利之一。当行政机关不履行或未充分履行其法定职责时，公民有权通过合法途径维护自己的合法权益。
行政机关义务：
- 行政机关作为国家权力的执行机关，依法承担着管理社会公共事务、提供公共服务等职责。这些职责是法律赋予的，行政机关必须依法履行，不得懈怠或拒绝。
三、要求行政机关履行法定职责的具体途径
提出书面申请：
- 公民或组织可以以书面形式向行政机关提出履行法定职责的申请。在申请书中，应详细阐述要求行政机关履行的具体职责事项、相关事实和理由，并提供必要的证明材料。
行政复议：
- 如果行政机关在规定期限内未履行职责或处理结果不符合要求，公民或组织可以向上一级行政机关或同级人民政府申请行政复议。在复议申请中，应详细说明行政机关未履行职责或处理不当的情况，并阐述自己的诉求和理由。
行政诉讼：
- 若行政复议未能解决问题，公民或组织还可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。在诉讼过程中，需提供充分证据证明行政机关有法定职责未履行，以及自己的合法权益因此受到了损害。法院将根据事实和法律规定对行政机关的行为进行审查，并作出相应判决。
四、实际案例分析
以某环保案件为例，若环保部门未能及时查处企业的超标排污行为，导致环境污染，则环保部门未充分履行其环境监管和治理职责。在此情况下，受影响的公民或组织可以依据相关法律法规，向环保部门提出履行法定职责的申请。如果环保部门仍未采取行动，公民或组织可以进一步申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
五、建议与注意事项
明确行政机关职责：
- 在提出申请前，务必查阅相关法律条文，确保自己的请求属于该行政机关的法定职责范围。
保留证据：
- 在申请过程中，应保留好相关证据材料，如申请书、送达凭证、污染情况的照片或视频等，以便在后续的法律程序中使用。
遵循法定程序：
- 在要求行政机关履行法定职责的过程中，应遵循法定程序，如书面申请、行政复议、行政诉讼等。避免采取过激行为或非法手段，以免给自己带来不必要的法律风险。
寻求专业帮助：
- 如果感到自己无法有效处理这个问题，可以向我咨询，我能提供专业的法律建议和指导，帮助你更有效地维护自己的权益。
综上所述，要求行政机关履行法定职责是公民的基本权利，但需遵循法定程序，通过合理合法的方式维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。