针对您提出的“自然人和自然人签的劳动合同哪个部门管”这一问题，首先需要明确的是，在常规的劳动法律框架下，劳动合同主要是规范用人单位（如企业、个体经济组织、民办非企业单位等）与劳动者之间的关系。然而，当涉及到自然人与自然人之间签订的类似劳动合同的协议时，这通常不被视为传统意义上的劳动合同，而可能更接近于一种民事合同或劳务合同。

对于自然人与自然人之间签订的这类合同，其监管并不直接由劳动行政部门（如人力资源和社会保障部门）负责，因为这些部门主要监管的是用人单位与劳动者之间的劳动关系。相反，这类合同的纠纷或问题可能更多地需要通过民事法律途径来解决，比如通过法院或仲裁机构进行裁决。

不过，如果自然人与自然人之间的合同内容涉及到了劳动法律所保护的某些权益（如工资支付、工作时间、休息休假等），且双方的行为在实质上构成了劳动关系（即一方提供劳动，另一方支付报酬，且存在管理与被管理的关系），那么在这种情况下，相关的劳动行政部门或劳动人事争议仲裁委员会可能会根据具体情况介入，以保护劳动者的合法权益。

具体来说：

1. 如果合同性质更接近民事合同：双方应主要通过协商、调解或民事诉讼等方式解决纠纷。

2. 如果合同实质上构成了劳动关系：

   • 可以向当地的劳动行政部门（如人力资源和社会保障局）咨询或投诉，看是否能够得到相应的指导和帮助。
   • 如果发生争议，可以向当地的劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。但需要注意的是，仲裁委员会通常会对案件进行审查，以确定是否属于其管辖范围。

建议：

• 在签订任何合同之前，双方都应仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保护。
• 如果对合同性质或内容有疑问，可以咨询专业的法律人士或相关机构。
• 在发生纠纷时，应首先尝试通过协商或调解解决；如果无法解决，再考虑通过法律途径维护自己的权益。

综上所述，自然人与自然人之间签订的类似劳动合同的协议，其监管和纠纷解决方式可能因合同性质和具体情况而异。在大多数情况下，这类合同可能更多地受到民事法律的规范和保护。