在劳动争议中，如果双方都向法院起诉了，劳动者在起诉中已经提交过的证据，在后续的诉讼过程中，一般不需要再次向公司提交，但需确保公司能够获取到这些证据。以下是对此问题的详细分析：

证据提交的基本原则

在民事诉讼中，证据的提交遵循“谁主张，谁举证”的原则。这意味着，提出主张的一方需要提供相应的证据来支持其主张。在劳动争议案件中，无论是劳动者还是公司，都需要根据其主张提供相应的证据。

劳动者已提交证据的处理

1. 法院记录：劳动者在起诉时提交的证据，法院会进行记录并作为案件材料的一部分。这些证据在后续的诉讼过程中，包括庭审、调解等环节，都会被法院所引用和参考。
2. 公司获取：虽然劳动者不需要再次向公司提交已提交的证据，但为了确保诉讼的公平性和透明性，劳动者应确保公司能够获取到这些证据。这通常通过法院的送达程序来实现，即法院会将劳动者提交的证据副本送达给公司，以便公司进行质证和反驳。

特殊情况下的证据提交

1. 新证据的出现：如果在诉讼过程中，劳动者发现了新的证据，或者原有的证据发生了变化，那么劳动者需要及时向法院提交这些新证据或更新后的证据。同时，根据法院的送达程序，这些新证据或更新后的证据也会被送达给公司。
2. 证据的补充或完善：有时，劳动者在起诉时提交的证据可能不够完整或充分。在这种情况下，劳动者可以在后续的诉讼过程中，根据法院的指示或需要，补充或完善相关证据。这些补充或完善的证据同样需要通过法院的送达程序送达给公司。

法律建议

1. 保留证据原件：劳动者应妥善保管好所有证据的原件，以备不时之需。虽然法院会记录并保存证据的副本，但原件在必要时（如鉴定、质证等环节）可能更为重要。
2. 及时沟通：在诉讼过程中，劳动者应与公司保持沟通，就证据的提交、质证等事项进行协商和确认。这有助于减少误解和纠纷，促进诉讼的顺利进行。
3. 遵循法院指示：劳动者应严格遵守法院的指示和要求，按时提交证据、参加庭审等。这有助于维护诉讼的秩序和效率，保障劳动者的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律服务。