结论前置：被别人砍断右手三根手筋的伤残等级，需根据肌腱损伤程度、功能恢复状况及后遗症等综合判断，可能涉及十级、九级甚至更高等级伤残，具体需由专业司法鉴定机构进行评定。
一、伤残等级判定依据
根据《人体损伤致残程度分级》标准，伤残等级的评定需综合考虑多个因素，包括但不限于肌腱损伤程度、手部功能恢复状况以及是否遗留后遗症等。针对右手三根手筋被砍断的情况，可能涉及以下伤残等级：
十级伤残：
- 若肌腱断裂导致手部功能部分丧失，如手指屈伸受限、握力减弱等，且影响日常生活或工作能力，可能符合十级伤残标准。例如，拇指以外的任一手指远侧指间关节离断或功能丧失，或手部活动度下降≥10%（需专业测量）。
九级伤残：
- 若损伤造成手部重要功能严重障碍，如多根肌腱断裂后修复不良，导致手指无法完成精细动作（如书写、抓握），或肌力明显下降（肌力≤3级），可能评定为九级伤残。
更高等级（八级及以上）：
- 通常需满足手部功能严重受损的条件，如单手大部分肌瘫（肌力≤2级），或双手功能显著丧失（如丧失50%以上握持功能）。
二、关键影响因素
肌腱类型与位置：
- 屈肌腱（控制弯曲）比伸肌腱（控制伸直）对功能影响更大，尤其是拇长屈肌腱或示中环小指的深屈肌腱。
治疗效果：
- 术后康复效果直接影响功能恢复。若遗留明显功能障碍（如关节僵硬、肌肉萎缩），评级可能更高。
并发症：
- 感染、粘连或再断裂等并发症会加重残疾程度，从而影响伤残等级评定。
三、鉴定流程建议
医疗终结期后申请：
- 一般需在损伤后6-12个月（视恢复情况）进行鉴定，以确保鉴定结果的准确性。
材料准备：
- 手术记录、出院小结等医疗文件；
- 近期肌电图报告（评估神经肌肉功能）；
- 功能评定量表（如TAM系统测量手指活动度）。
选择有资质的机构：
- 由司法行政部门认证的司法鉴定所进行评定，以确保鉴定结果的权威性和公正性。
四、法律责任与赔偿
刑事责任：
- 若砍断手筋的行为构成故意伤害罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，加害人可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。若造成严重残疾，刑罚可能更重。
民事赔偿：
- 受害人可要求加害人赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费以及因误工减少的收入等合理费用。若造成残疾，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。残疾赔偿金的计算通常根据伤残等级和当地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准确定。
五、示例说明
- 案例1：某工人右手示中环指深屈肌腱断裂，术后中指屈曲受限，握力下降40%，最终评定为十级伤残。
- 案例2：患者右手多根肌腱断裂伴神经损伤，术后拇指对掌功能丧失，评定为九级伤残。
总结与建议：被别人砍断右手三根手筋的伤残等级需由专业司法鉴定机构进行评定。在鉴定过程中，应充分考虑肌腱损伤程度、功能恢复状况及后遗症等因素。同时，加害人可能面临刑事责任和民事赔偿的法律责任。若您或您身边的人遭遇此类情况，请及时就医并申请鉴定，以便维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。