在劳务纠纷案件经过一审、二审、再审及执行程序后，当事人仍可申诉的法律依据主要来源于《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释中关于审判监督程序的规定。具体分析如下：

1. 审判监督程序的启动依据
   根据《民事诉讼法》第207条，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。这一条款是申诉的直接法律依据，其核心在于“认为有错误”，包括但不限于：
   

• 证据问题：新证据足以推翻原判决，或原判决认定事实的主要证据系伪造、未经质证；
  
• 程序违法：审判组织组成不合法，或违反法定程序可能影响公正审判；
  
• 法律适用错误：原判决适用法律确有错误；
  
• 人员违法：审判人员存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。
  

1. 再审程序与执行程序的关系
   若案件已进入执行阶段，当事人仍可依据《民事诉讼法》第232条提出执行异议：
   

• 对执行行为违法（如超标的查封、未依法送达执行通知）的，可向执行法院提出书面异议；
  
• 对执行标的（如财产权属）存在争议的，可提起案外人异议之诉或申请再审。
  需注意：执行异议仅针对程序问题，若涉及实体争议（如劳务报酬计算错误），仍需通过审判监督程序解决。

1. 申诉的时效与限制
   

• 时效要求：根据《民事诉讼法》第212条，当事人申请再审应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出，但存在第207条第一项（新证据）、第三项（伪造证据）等情形的，自知道或应当知道之日起计算。
  
• 次数限制：再审以一次为限，但再审后仍存在第207条情形的，可再次申请再审（需符合《民事诉讼法解释》第401条的严格条件）。
  

1. 申诉后的处理结果
   若申诉成功，法院可能裁定再审，并中止原判决执行（但涉及追索劳动报酬等民生案件，可能不中止执行）。再审后可能维持原判、改判或发回重审，具体取决于案件事实与法律适用。
   

建议：若您认为案件存在上述法定再审事由，可整理相关证据（如新证据、程序违法记录等）及书面申诉材料，向上一级法院提交再审申请。如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我咨询。