核心结论：私家车开网约车被抓导致驾驶证扣三个月，您需要先接受处罚，之后可针对处罚的合法性、合理性进行复核或行政复议、行政诉讼，同时要关注车辆性质变更及保险理赔等后续问题。以下是详细说明：

1. 接受处罚并了解处罚依据
   • 当您的私家车因开网约车被抓且驾驶证被扣三个月时，首先应当接受这一处罚决定。交通管理部门作出这样的处罚，通常是基于您违反了相关的交通运输管理法规。比如，私家车从事网约车运营，若未按照规定办理《网络预约出租汽车运输证》和《网络预约出租汽车驾驶员证》，就属于非法营运行为。根据《中华人民共和国道路运输条例》等相关规定，非法营运会面临罚款、扣车、扣证等处罚措施。您需要向处罚部门了解具体的处罚依据和条款，明确自己是因为哪些具体行为违反了哪些规定而受到处罚。
2. 对处罚进行复核或申请行政复议、行政诉讼
   • 复核：如果您认为处罚决定存在错误或者不合理之处，比如处罚过重、事实认定不清等，您可以在收到处罚决定书之日起一定期限内（一般是60日内），向作出处罚决定的交通管理部门的上一级主管部门申请复核。在申请复核时，您需要提交书面申请，详细说明您认为处罚不当的理由和依据，并提供相关的证据材料，如行车记录、证人证言等。
   • 行政复议：如果您对复核结果仍然不满意，或者认为复核程序没有依法进行，您可以在知道该具体行政行为之日起60日内向有管辖权的行政复议机关（一般是当地政府或上级交通主管部门）提出行政复议申请。行政复议机关会对处罚决定的合法性和合理性进行全面审查，并作出复议决定。
   • 行政诉讼：如果您对行政复议决定不服，或者行政复议机关逾期未作出复议决定，您可以在收到复议决定书之日起15日内或者复议期满之日起15日内，向人民法院提起行政诉讼。在行政诉讼中，法院会依法对处罚决定的合法性进行审查，并作出判决。
3. 关注车辆性质变更及保险理赔问题
   • 车辆性质变更：私家车从事网约车运营，车辆性质会从非营运车辆变为营运车辆。根据相关规定，营运车辆和非营运车辆在车辆报废年限、保险费用等方面存在差异。如果您的车辆已经从事了网约车运营，但未及时变更车辆性质，可能会面临一些法律风险。在驾驶证被扣期间，您需要关注车辆性质变更的问题，按照规定办理相关手续。
   • 保险理赔：私家车从事网约车运营，若未告知保险公司车辆用途的变更，在发生交通事故时，保险公司可能会以“车辆用途改变导致风险增加，未履行告知义务”为由拒绝理赔。因此，您需要检查自己的保险合同，了解保险公司对于车辆用途变更的规定，并及时与保险公司沟通，办理相关的保险变更手续，以确保在发生事故时能够获得保险理赔。

在处理这些问题时，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。