结论：儿子在父亲病重时不出钱不出力，并不一定构成遗弃罪，是否构成遗弃罪需根据具体情况来判断。

分析如下：

1. 遗弃罪的构成要件：

   • 遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。
   • 构成遗弃罪需要满足几个关键要素：一是存在扶养义务，二是拒绝扶养，三是情节恶劣。

2. 关于扶养义务：

   • 在家庭关系中，子女对父母负有法定的扶养义务，这包括经济上的供养、生活上的照料以及精神上的慰藉。
   • 如果儿子确实有能力扶养父亲，却故意不履行这一义务，那么他就可能涉嫌遗弃罪。

3. 关于拒绝扶养：

   • 拒绝扶养不仅指经济上的不给予，还包括生活上的不照料、不关心等。
   • 在父亲病重的情况下，儿子如果既不出钱也不出力，可以视为拒绝扶养的一种表现。

4. 关于情节恶劣：

   • 情节恶劣是构成遗弃罪的重要条件之一，它通常指的是行为人的行为造成了严重的后果或者具有恶劣的社会影响。
   • 在判断情节是否恶劣时，会考虑多种因素，如被扶养人的身体状况、扶养义务人的经济状况、拒绝扶养的时间长短、是否造成严重后果等。

5. 具体案例分析：

   • 如果儿子因为经济困难或者其他合理原因暂时无法履行扶养义务，且正在积极寻求解决方案，那么他的行为可能不构成遗弃罪。
   • 如果儿子有能力扶养却故意不履行义务，且父亲因此遭受了严重的身体或精神损害，那么他的行为就可能构成遗弃罪。

法律建议：

• 如果您或您身边的人遇到了类似的情况，建议首先尝试与儿子进行沟通，了解他的想法和困难，并寻求家庭内部的解决方案。
• 如果沟通无果，且儿子的行为确实构成了遗弃罪的要件，那么您可以考虑向公安机关报案或者向人民法院提起诉讼，以维护父亲的合法权益。

可能后果：

• 如果儿子的行为被认定为遗弃罪，他可能会面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或者罚金等。
• 同时，他还需要承担民事赔偿责任，赔偿父亲因此遭受的损失。

总结：儿子在父亲病重时不出钱不出力是否构成遗弃罪，需要根据具体情况来判断。如果您有进一步的疑问或者需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。