针对员工虚假请假这一问题，企业应当采取一系列严谨且人性化的措施来应对，以确保公司制度的严肃性和员工的合法权益。以下是一些具体的处理建议：

首先，对员工的病假证明进行严格复核。企业可以在规章制度中明确规定，公司有权对员工提交的病假证明进行复核。这要求员工在请假时，除了提交病假证明外，还需提供病历本、医药费单据等相关材料，以便公司对病假的真实性进行审查。若公司对员工的病假存在合理怀疑，且在不违背合理性、便利性、公平性的前提下，可以要求员工到指定医院进行复查，以确保病假的真实性。

其次，要求员工提交符合规定的医院医生开具的病假证明。病假证明应明确标注医生的姓名和联系方式，这样公司在进行核实时能够直接联系到医生，进一步确认病假的真实性。这一措施有助于防止员工使用伪造或虚假的病假证明来骗取假期。

再者，企业可以定期探访生病员工。这一做法既体现了公司对员工的关爱，又能对员工的病假情况进行正常监控。通过探访，公司可以了解员工的实际病情和康复情况，从而判断员工是否确实需要请假休息。同时，这也有助于增强员工对公司的归属感和忠诚度。

最后，在规章制度中明确虚假病假的处理后果。企业应在规章制度中明确规定，虚假病假属于严重违反公司制度的行为。一旦发现员工存在虚假请假的情况，公司有权根据规章制度对其进行相应的处理，包括但不限于警告、罚款、辞退等。这一措施有助于维护公司制度的严肃性，防止类似行为的再次发生。

综上所述，企业在处理员工虚假请假问题时，应采取严格复核、要求合规证明、定期探访和明确处理后果等措施。这些措施既体现了公司对员工的关爱和尊重，又确保了公司制度的严肃性和有效性。