结论前置：仲裁裁决书下来后，不可以直接不执行而私自向对方索赔。以下是对此问题的详细分析：

1. 仲裁裁决书的法律效力：

   • 仲裁裁决书是仲裁机构根据双方当事人的仲裁协议，对争议事项进行审理后作出的具有法律效力的文书。
   • 一旦仲裁裁决书作出并送达双方当事人，即产生法律效力，双方当事人应当履行裁决书所确定的义务。

2. 不执行仲裁裁决书的后果：

   • 如果一方当事人不履行仲裁裁决书所确定的义务，另一方当事人可以向人民法院申请强制执行。
   • 人民法院在受理强制执行申请后，会依法对被执行人的财产进行查封、扣押、冻结等措施，以强制其履行义务。
   • 不执行仲裁裁决书还可能面临被列入失信被执行人名单、限制高消费等信用惩戒措施，对个人的社会信用和日常生活产生严重影响。

3. 私自向对方索赔的不可行性：

   • 私自向对方索赔不仅无法保障自身权益的有效实现，还可能因方式不当而引发新的纠纷或冲突。
   • 私自索赔缺乏法律程序的保障，无法确保索赔的合法性和合理性，也可能因证据不足或程序瑕疵而无法得到法律的支持。

4. 正确的做法：

   • 如果对方不履行仲裁裁决书所确定的义务，应当及时向人民法院申请强制执行，通过法律程序来维护自己的合法权益。
   • 在申请强制执行前，可以尝试与对方进行协商，寻求和解或分期履行等解决方案，以减少执行成本和风险。

法律建议：

• 在面对仲裁裁决书执行问题时，建议保持冷静和理性，不要采取私自索赔等不当行为。
• 及时咨询专业律师，了解自己的法律权益和可行的解决方案，以便更好地维护自己的合法权益。

可能后果提醒：

• 如果私自向对方索赔，可能会因方式不当而引发新的法律纠纷，甚至可能面临法律责任。
• 不执行仲裁裁决书还可能对个人的社会信用产生负面影响，影响未来的生活和职业发展。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。