您好，关于母子关系证明的开具单位，这主要取决于您手头现有的材料以及您与母亲的历史户籍情况。以下是一些可能的开具单位及对应的情况说明，希望能对您有所帮助：

1. 公安机关：

   • 如果您的出生信息在公安部人口信息系统或地方人口信息管理系统中已有记载，且该系统能反映出您与母亲的关系，那么您可以前往受理业务的公安机关，由民警查询并出具证明。
   • 如果您曾经与母亲在同一户口本上登记过，且历史户籍档案能够反映您们的亲属关系，原户籍地公安派出所也可以依据户籍登记及变动轨迹信息出具证明。但如果您从未与母亲在同一户口本上登记过，且公安机关内部查无记录，那么公安机关可能无法为您出具曾经同户证明。

2. 公证机构：

   • 如果您无法通过公安机关获取证明，或者您需要一份具有法律效力的证明文件，那么您可以前往公证机构申请办理《亲属关系公证书》。公证机构会根据您提供的材料，如出生证明（若遗失可尝试其他替代材料）、身份证、户口本（如有）等，进行核实并出具公证书。

3. 亲子鉴定机构：

   • 在某些特殊情况下，如果您无法提供其他有效的证明材料，且您与母亲之间的亲属关系存在争议，那么您可能需要通过有资质的亲子鉴定机构进行亲子鉴定，并出具亲子鉴定书作为证明。

4. 其他替代材料：

   • 如果您遗失了出生医学证明，但您有其他能够证明您与母亲关系的材料，如收养登记证、事实收养公证书、结婚证（若母亲再婚且您随继父或继母生活，且相关材料能反映您与母亲的关系）、人民法院生效的判决书等，这些材料也可以作为证明您与母亲关系的依据。

针对您个人情况（出生医学证明遗失，父母离婚证不见，从未和母亲在一个户口本上登记过），我建议您首先尝试联系原户籍地公安派出所，询问他们是否能根据历史户籍档案出具证明。如果公安机关无法出具，您可以考虑前往公证机构申请办理《亲属关系公证书》，或者根据具体情况选择其他合适的证明方式。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。