在没有遗嘱的情况下，您公公留下的遗产将按照法定继承的方式处理。以下是详细说明：

1. 法定继承的顺序：根据《中华人民共和国民法典》的规定，法定继承分为第一顺序和第二顺序。第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。在您公公去世的情况下，如果他的父母（即您的祖父母）已经去世，且没有遗嘱指定其他继承人，那么他的遗产将由他的配偶（即您的婆婆）和子女（包括您和您爱人的子女，如果子女先于您公公去世，则由子女的直系晚辈血亲代位继承）共同继承。

2. 继承份额的确定：同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。但继承人协商同意的，也可以不均等。如果继承人中有生活有特殊困难又缺乏劳动能力的，分配遗产时，应当予以照顾。对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。

3. 继承手续的办理：在实际操作中，为了顺利继承遗产，可能需要办理一系列的手续，如继承权公证、房产过户等。这些手续可能需要提供相关的证明文件，如死亡证明、亲属关系证明、遗嘱（如果有的话）等。在没有遗嘱的情况下，您需要与其他继承人协商一致，共同办理这些手续。如果协商不成，可能需要通过诉讼的方式解决继承纠纷。

4. 特殊情况的处理：如果遗产中涉及到您公公与他人的共有财产，如夫妻共同财产，那么在继承前需要先进行分割，确定属于您公公的遗产部分。此外，如果遗产中有需要特别处理的财产，如需要过户的房产、车辆等，您需要按照相关规定办理过户手续。

建议您：

• 与其他继承人保持沟通，尽量协商一致处理遗产继承问题。
• 如果协商不成，或者对遗产继承有疑问，可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。
• 在处理遗产继承过程中，注意保留好相关证明文件，以便在需要时提供。