中国银行随心智贷逾期一天后，能否申请延期还款或相关处理，需分情况讨论：

1. 合同条款优先
   首先需查阅您与银行签订的《随心智贷借款合同》中关于“逾期处理”“还款宽限期”的条款。若合同明确约定“逾期1日即视为违约，银行有权采取催收、加收罚息等措施”，则逾期一天后申请延期可能面临严格审核；若合同约定“3日宽限期”，则逾期一天通常不影响申请。

2. 银行实际操作中的灵活性
   即使合同无宽限期，实践中银行可能根据客户信用记录、逾期原因（如系统故障、临时资金周转困难）给予一定容错空间。建议立即联系贷款经办行或客服，说明逾期原因（如忘记还款、转账延迟）并提交书面申请，附上证明材料（如医院证明、工资流水），增加协商成功率。

3. 逾期后果与应对

   • 信用影响：逾期一天可能被上报至央行征信系统，影响个人信用记录（具体以银行上报时间为准）。若已上报，可要求银行出具《非恶意逾期证明》，降低对后续贷款的影响。
     
   • 罚息与违约金：合同可能约定逾期按日计收罚息（通常为贷款利率的1.5倍），并可能收取违约金。申请延期时，可同步协商减免部分费用。
     
   • 法律风险：若长期逾期（通常超过90天），银行可能启动法律程序（如起诉、申请财产保全）。逾期一天尚不构成根本违约，但需尽快处理以避免风险升级。

行动建议：

1. 立即通过中国银行APP、网银或柜台补还欠款，减少逾期时间；
   
2. 同步联系贷款经办行，说明情况并提交延期申请（建议书面形式）；
   
3. 保留与银行的沟通记录（如通话录音、邮件），以备后续争议。
   

如有其他合同条款解读或协商技巧问题，可进一步向我咨询。