在劳动仲裁中，公司（被申请人）确实有权在特定条件下提出与员工（申请人）相关的请求，这在实际操作中类似于诉讼程序中的“反诉”效果，但在劳动仲裁中通常被称为“反申请”。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据与处理流程
根据《劳动人事争议仲裁办案规则》第三十六条的规定，被申请人可以在答辩期间提出反申请，仲裁委员会应当自收到被申请人反申请之日起五日内决定是否受理并通知被申请人。若决定受理，仲裁委员会可以将反申请和申请合并处理。这一规定为公司在劳动仲裁中提出反申请提供了明确的法律依据。
二、提出反申请的条件
主体特定：反申请的提出者必须是仲裁本诉的被申请人，即公司；反申请的对象是仲裁本诉的申请人，即员工。
时间限制：公司应当在仲裁答辩期间提出反申请。若答辩期满后提出，则应当另行申请仲裁。
关联性要求：反申请的内容必须与本诉基于同一劳动关系或有直接关联。例如，员工要求公司支付拖欠的工资，公司可以反申请员工赔偿因违反公司规章制度造成的损失。
属于仲裁受案范围：反请求事项必须属于劳动争议仲裁委员会的受案范围，如工资、工伤待遇、劳动合同解除等。与劳动无关的事项，如借贷纠纷，不属于劳动仲裁受案范围。
三、反申请的处理方式
合并处理：若反申请符合受理条件，仲裁委员会通常会将反申请和原申请合并处理，以提高仲裁效率，避免重复审理。
分别裁决：在特殊情况下，如反申请与原申请在事实认定、法律适用等方面差异较大，仲裁庭可能分别进行裁决，但仍会综合考虑整个劳动争议的背景。
四、实践建议
仔细审查请求：公司在提出反申请前，务必仔细审查自己的请求是否符合上述条件，以避免不必要的法律风险。
及时提交材料：公司应在规定时间内向仲裁委员会提交书面反申请，明确反请求事项、事实和理由，并附上相关证据材料。
积极参与仲裁程序：在仲裁过程中，公司应积极参与庭审，充分陈述自己的观点，并提供证据支持自己的主张。
考虑调解：双方可通过调解方式寻求和解协议，以解决劳动争议。调解是灵活高效解决纠纷的重要途径，有助于双方达成互利共赢的结果。
总结来说，公司在劳动仲裁中确实有权提出反申请，但需满足一定条件。为确保自身权益，建议公司在提出反申请前仔细审查请求、及时提交材料、积极参与仲裁程序，并考虑通过调解方式解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。