结论：继父是否能继承其与您母亲所生儿子的遗产，主要取决于是否存在有效的遗嘱以及继父与该儿子之间是否形成了法律上的抚养关系。以下分情况详细说明：

1. 存在有效遗嘱的情况：

   • 如果该儿子在生前立有合法有效的遗嘱，并且遗嘱中明确指定了遗产的继承人，那么遗产将按照遗嘱的分配方式进行继承。在这种情况下，如果遗嘱中没有指定继父为继承人，继父则无权继承该儿子的遗产。

2. 不存在有效遗嘱的情况：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产将按照法定继承顺序进行分配。法定继承的第一顺序包括配偶、子女、父母。这里的“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有抚养关系的继子女。
   • 若继父与该儿子形成了抚养关系：即继父对该儿子进行了抚养教育，那么继父将作为第一顺序继承人之一，有权继承该儿子的遗产。此时，继父的继承权与其他第一顺序继承人（如该儿子的生母、其他子女等）是平等的，具体份额将根据实际情况和法律规定进行分配。
   • 若继父与该儿子未形成抚养关系：则继父不享有对该儿子遗产的法定继承权。在这种情况下，遗产将由其他第一顺序继承人继承，如该儿子的生母、其他子女等。

法律背景与建议：

• 抚养关系的认定是关键。它不仅仅基于血缘关系，更重要的是是否实际履行了抚养教育义务。如果继父与该儿子共同生活，并对其进行了抚养教育，那么通常可以认定形成了抚养关系。
• 在处理此类遗产继承问题时，建议首先尝试通过协商解决。如果协商不成，可以寻求法律途径解决，如向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院将根据事实和法律规定，对继父是否享有继承权进行认定，并作出公正的判决。

可能的法律后果：

• 如果继父被认定享有继承权，他将按照法律规定或遗嘱分配获得相应的遗产份额。
• 如果继父被认定不享有继承权，他将无法获得该儿子的遗产，遗产将由其他第一顺序继承人继承。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。