在驾驶员肇事逃逸的情况下，雇主是否有责任需根据具体情况来判断，主要取决于雇主是否存在过错。若雇主无过错，则通常无需承担赔偿责任；若雇主有过错，则需承担相应的民事甚至刑事责任。以下从多个角度进行详细分析：
一、雇主无需承担责任的情况
无过错情形：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百零九条及第一千二百一十二条的相关规定，因租赁、借用等情形机动车所有人、管理人与使用人不是同一人时，发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，由机动车使用人承担赔偿责任；机动车所有人、管理人对损害的发生没有过错的（如车辆无故障、司机有合法驾驶资质等），不承担赔偿责任。因此，若司机在执行雇佣工作任务过程中肇事逃逸，且雇主对损害结果的发生没有过错，则雇主无需承担赔偿责任。
- 肇事逃逸是司机的个人行为，根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第九十二条，逃逸的当事人应承担全部责任，所以雇主在此情况下不直接担责。
交强险垫付与追偿：
- 尽管雇主无过错，但在某些情况下可能需要在交强险范围内先垫付赔偿费用。事后，雇主有权向逃逸司机进行追偿。
二、雇主需要承担责任的情况
雇主存在过错：
- 车辆问题：若雇主提供的车辆存在故障，如刹车失灵等安全隐患，且该故障对事故发生起到一定作用，雇主需因车辆缺陷的过错承担部分责任。
- 选人用人过错：雇主明知司机无驾驶资格（如未取得驾驶证、驾驶证被吊销等）仍雇佣其驾驶，或因监督不力导致事故发生，雇主需承担相应责任。
- 指示或明知逃逸：雇主指示肇事司机逃逸，或在明知司机肇事逃逸的情况下未进行有效阻止，雇主也需对损害后果承担相应责任。
法律责任延伸：
- 在极少数情况下，如果雇主与肇事行为有直接关联或共谋，除民事责任外，还可能面临行政甚至刑事责任的追究。但这需依据具体案件事实和法律规定来判定。
三、实例分析
假设某公司雇佣的司机小张在送货途中发生交通事故后逃逸，造成他人伤害。在此情况下：
- 若小张具备合法驾驶资质，车辆无故障，且公司未指示或明知小张逃逸而未阻止，则公司作为雇主通常无需承担赔偿责任。受害者有权直接向小张追偿。
- 若公司提供的车辆存在刹车失灵等安全隐患，或公司明知小张无驾驶资格仍雇佣其驾驶，则公司需根据过错程度承担相应的赔偿责任。同时，小张作为直接行为人，仍需承担主要的赔偿责任。
四、法律依据
- 《中华人民共和国民法典》第一千二百零九条：因租赁、借用等情形机动车所有人、管理人与使用人不是同一人时，发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，由机动车使用人承担赔偿责任；机动车所有人、管理人对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。
- 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第九十二条：发生交通事故后当事人逃逸的，逃逸的当事人承担全部责任。但是，有证据证明对方当事人也有过错的，可以减轻责任。当事人故意破坏、伪造现场、毁灭证据的，承担全部责任。
综上所述，驾驶员肇事逃逸时，雇主的责任界定需综合考虑雇主的过错程度。雇主无过错时通常无需担责，但有过错时需承担相应的民事甚至刑事责任。在实际操作中，应依据具体案件事实和法律规定进行准确判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。