结论前置：劳动合同到期后单位忘记续签是否需要赔偿以及赔偿的具体方式，取决于未续签的时长、单位的后续行为以及劳动者的选择。以下从多个角度为您详细分析：
一、需要赔偿的情形
未及时续签但仍维持劳动关系
- 支付双倍工资：若劳动合同到期后，劳动者继续在单位工作且单位未在一个月内与其续签书面劳动合同，则从第二个月起，单位需向劳动者支付双倍工资，直至续签合同前一日或满一年（此时视为双方已订立无固定期限劳动合同）。这一规定依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，即用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 示例：假设劳动合同于2024年1月1日到期，单位未续签，但劳动者继续工作至2024年4月1日。那么，从2024年2月1日至2024年3月31日，单位需向劳动者支付双倍工资。
单位不续签或违法终止劳动关系
- 支付经济补偿或赔偿金：
- 若单位明确表示不续签劳动合同，需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
- 若单位以劳动合同到期为由违法终止劳动关系，劳动者可要求恢复劳动关系或按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
- 示例：劳动者在单位工作了5年，月工资为5000元。若单位不续签劳动合同，则需支付5个月工资作为经济补偿，即25000元。若单位违法终止劳动关系，则需支付10个月工资作为赔偿金，即50000元。
劳动者以单位未续签为由解除劳动关系
- 单位同样需支付经济补偿，标准同上。劳动者需以书面形式通知单位并明确指出解除原因。
二、无需赔偿的情形
- 一个月内补签：若在用工之日起的一个月内，单位与劳动者补签了劳动合同，则无需支付双倍工资。
- 劳动者不同意续签：若单位维持或提高劳动合同约定条件续订，而劳动者不同意续签，则单位无需支付经济补偿。
三、其他注意事项
- 失业金领取：若合同到期后单位不续签，劳动者在满足一定条件下可申请领取失业金，具体流程和所需材料建议咨询当地社保部门。
- 维权途径：若单位拒绝支付相应补偿，劳动者可通过申请劳动仲裁等合法途径维护自身权益。在维权过程中，保留好相关证据（如工作记录、工资单、通知书等）至关重要。
四、建议与行动清单
单位：
- 立即核查合同到期时间及未续签原因。
- 评估是否超过一个月未续签。
- 与劳动者协商补签或终止方案。
- 完善内部流程，设置合同到期预警机制，避免类似情况再次发生。
劳动者：
- 若单位未及时续签但继续用工，可要求单位支付双倍工资或协商补签合同。
- 若单位不续签或违法终止劳动关系，可要求支付经济补偿或赔偿金。
- 保留好相关证据，以便在维权时使用。
总结：劳动合同的管理是用人单位和劳动者双方都应重视的法律事务。单位应确保及时与劳动者续签劳动合同，以避免可能的法律风险和经济损失。同时，劳动者也应了解自己的权益和义务，在必要时采取合适的措施维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。