合同到期公司忘记续签，员工在特定情况下有权要求赔偿。具体分析如下：
一、未续签但继续用工的情况
双倍工资支付：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若劳动合同到期后，公司未续签但员工仍继续工作，从劳动合同期满的次日起至满一年的前一日，公司应每月向劳动者支付两倍的工资。例如，若员工合同于2024年1月1日到期且之后未续签但仍继续工作，则从2024年2月1日起至2024年12月31日，公司需支付双倍工资。
- 自劳动合同期满一年的当日（如上述例子中的2025年1月1日），视为公司与员工已订立无固定期限劳动合同，并应立即补订书面劳动合同。
经济补偿：
- 若公司在此期间以未续签合同为由终止劳动关系，除需支付上述双倍工资外，还需按照《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条支付经济补偿。
- 经济补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
二、未续签且未继续用工的情况
- 经济补偿：
- 合同到期后，若公司未续签且员工也未再到公司工作，双方劳动关系终止。
- 在此情况下，若是公司主动不续签劳动合同，公司需按照《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条的规定向员工支付经济补偿。
- 但若员工主动提出不续签，且公司维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而员工不同意，则公司无需支付经济补偿。
三、一般原则与协商
- 合同期满即劳动合同终止。除特定情形外（如用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形），因合同期满导致劳动合同终止的，用人单位应向劳动者支付经济补偿金。
- 若单位降低原来劳动条件导致员工不续签，单位仍需进行经济补偿。
- 合同到期后，若单位超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应每月支付二倍工资。
- 尽管法律规定了具体责任，但在实际操作中，双方仍可通过协商寻求解决方案。
行动建议
收集证据：
- 保留与劳动合同相关的所有文件，如劳动合同、工资单、工作证等。
- 收集能证明你继续在公司工作的证据，如考勤记录、工作邮件、同事证言等。
与公司协商：
- 尝试与公司就赔偿问题进行协商，看是否能达成一致意见。
- 在协商过程中，保持冷静和理性，避免情绪化行为。
寻求法律帮助：
- 若协商无果，你可以咨询专业律师（即我本人），了解你的法律权益和可能的赔偿金额。
- 根据律师的建议，你可以选择向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼。
结论：合同到期公司忘记续签时，员工的权益保护取决于具体情况。在未续签但继续用工的情况下，员工有权要求支付双倍工资及在特定条件下的经济补偿。在未续签且未继续用工的情况下，员工可能获得经济补偿，具体取决于合同终止的原因。如果你正面临此类问题，建议直接向我咨询，以便获得更准确的法律建议。