在处理犯人脱逃这一严重事件时，民警的应对方式及后续可能面临的法律责任是一个复杂且关键的问题。以下是对此问题的详细解答：
一、民警的应对措施
迅速响应与追捕：
- 一旦发现犯人脱逃，民警应立即启动紧急预案，向上级报告，并迅速组织追捕力量。这包括协调其他警种和机构，如交警封锁道路、特警设置卡点、技术警利用技术手段追踪等，以形成全方位的追捕网络。
- 在追捕过程中，民警需确保信息的准确性和保密性，及时通知相关部门和人员，避免引起不必要的恐慌和误解。
深入调查与追踪：
- 民警应迅速了解犯人的基本情况、逃跑路线和可能的藏匿地点。通过调取监控录像、询问目击者、搜集线索等方式，尽快掌握犯人的行踪，为追捕行动提供有力支持。
- 在调查过程中，民警需保持高度的警觉性和敏锐性，不放过任何可能的蛛丝马迹，确保追捕行动的精准性和有效性。
依法追捕与执法：
- 民警在追捕过程中必须严格遵守法律法规和程序规定，确保执法行为的合法性和正当性。这包括使用警械和武器的合法性、对嫌疑人的权利保障等。
- 同时，民警要注重保护自身安全和其他人员的生命财产安全，避免发生不必要的伤亡事故。如有必要，可请求武警部队等其他力量的支援和配合。
二、民警的法律责任
履职尽责情况下的责任：
- 如果民警在犯人脱逃的第一时间采取了有效的追捕措施，并按规定上报和通报情况，尽到了自身应尽的职责，那么他们一般不会受到处罚。因为他们的行为符合法律法规和职业要求，是正当且必要的。
履职不当或过错情况下的责任：
- 若犯人脱逃是由于民警在看守、押解等工作中存在疏忽大意或违法违纪行为导致的，那么相关民警可能会面临纪律处分。这包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等，具体处分程度根据脱逃后果的严重程度及民警过错的大小来确定。
- 在极端情况下，如民警接受贿赂故意为犯人脱逃创造条件，还可能构成犯罪，依法受到刑事处罚。这包括失职致使在押人员脱逃罪、玩忽职守罪等。
三、后续处理与反思
依法处理犯人：
- 对于成功抓获的脱逃犯人，民警应根据其具体情况和犯罪情节，依法采取相应的法律措施。这包括起诉、审判等，以确保犯人受到应有的法律制裁。
反思与总结：
- 脱逃事件后，民警应深入反思和总结，分析原因、查找漏洞、完善制度。这有助于防止类似事件的再次发生，提高看守所的安全管理水平。
四、特殊情况说明
- 如果民警并未失职，而是由于犯人采取暴力手段越狱等情况导致逃跑，那么民警一般不承担责任。此时，应全力追捕逃犯并加强安全管理，以确保公共安全和社会稳定。
综上所述，处理犯人脱逃事件需要民警具备高度的责任心、专业素养和应急能力。在应对过程中，民警应迅速响应、依法追捕，并确保后续处理的合法性。同时，根据相关法律法规和实际情况，对涉事民警进行公正、合法的责任判定和处理。