利用网络公然辱骂威胁他人是违法行为，受害者有权依法追究侵权者的法律责任，包括民事责任、行政责任乃至刑事责任。以下是从不同角度给出的详细解答：
一、民事责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事主体享有名誉权，任何组织或个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人名誉权。
处理方式：
- 固定证据：受害者应第一时间对网络辱骂威胁内容进行截图、录屏等操作，保存关键证据，确保证据的完整性和真实性。
- 要求停止侵权：明确告知侵权人其行为已经构成侵权，要求其立即停止相关辱骂威胁行为。
- 向平台投诉：向相关网络平台投诉，提供详实的证据材料，要求平台按照规则对侵权人进行处理，如删除侵权内容、封禁账号等。
- 提起诉讼：若影响严重，受害者可向法院提起民事诉讼，要求侵权者承担停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉及赔偿损失（包括精神损害抚慰金）等责任。
二、行政责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条的规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
处理方式：
- 报警处理：受害者或知情人可以向公安机关报案，由公安机关依法进行调查。
- 行政处罚：若查实存在公然辱骂威胁他人的行为，公安机关可对侵权人处以拘留或罚款等行政处罚。
三、刑事责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条的规定，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。前款罪，告诉的才处理，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外。通过信息网络实施第一款规定的行为，被害人向人民法院告诉，但提供证据确有困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。
处理方式：
- 刑事立案：若公然辱骂威胁他人的行为情节严重，构成侮辱罪或诽谤罪，公安机关将依法立案侦查。
- 提起公诉：检察机关将对犯罪嫌疑人提起公诉，由法院进行审判。
- 刑事处罚：若被告人被判定有罪，将面临三年以下有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利的刑事处罚。
四、综合处理建议
- 及时收集证据：受害者应第一时间收集并保存所有相关证据，包括网页截图、聊天记录、录屏等，以便后续使用。
- 多渠道维权：除了民事诉讼和刑事自诉外，受害者还可向网络监管部门投诉，要求网络服务提供商采取措施，如删除侵权内容、封禁账号等。
- 增强法律意识：了解相关法律法规，知道如何依法维权，避免在维权过程中因不了解法律而陷入被动。
- 谨慎言行：网络并非法外之地，每个人都应遵守法律法规，尊重他人名誉权等合法权益，避免自己成为侵权者。
示例说明：
- 假设某人在社交媒体上公然辱骂威胁他人，受害者可以首先截图保存证据，然后向社交媒体平台投诉，要求平台删除侵权内容并封禁侵权者账号。若平台未予处理或处理结果不满意，受害者可以向公安机关报案，由公安机关依法进行调查处理。若辱骂威胁行为情节严重，构成犯罪，受害者还可以向法院提起刑事自诉，要求追究侵权者的刑事责任。
特别提醒：在处理此类事件时，受害者应保持冷静，避免与侵权者发生直接冲突，以免事态扩大。同时，受害者应积极寻求法律帮助，依法维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。