结论：老板在员工工作半个月后仍未签订劳动合同，这一行为是违法的。
法律背景与解释：
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。这意味着，从员工开始工作的第一天起，用人单位就有一个月的期限来与员工签订书面劳动合同。
违法后果：
双倍工资赔偿：如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这是法律对用人单位未依法签订劳动合同的一种惩罚性赔偿。
行政处罚：用人单位未依法签订劳动合同，还可能面临劳动行政部门的行政处罚，如责令改正、罚款等。
具体应用与建议：
对于员工：如果老板在你工作半个月后仍未提出签订劳动合同，你有权要求老板尽快签订。如果老板拒绝或拖延，你可以向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求老板支付双倍工资赔偿。
对于老板：作为用人单位，应当严格遵守劳动合同法的规定，及时与员工签订书面劳动合同。这不仅是法律义务，也是维护企业稳定和员工权益的重要举措。如果因为疏忽或故意拖延而未签订劳动合同，将可能面临法律上的不利后果。
特殊情况说明：
虽然法律规定了用人单位应当在一个月内与员工签订书面劳动合同，但也有一些特殊情况需要注意。例如，如果员工因为个人原因（如提供虚假信息、拒绝签订等）导致无法签订劳动合同，那么用人单位可能不需要承担双倍工资赔偿的责任。然而，在这种情况下，用人单位需要能够提供充分的证据来证明是员工的原因导致无法签订劳动合同。
总结与提醒：
签订书面劳动合同是用人单位和劳动者建立劳动关系的重要法律文件，对于维护双方的权益都具有重要意义。因此，无论是员工还是老板，都应当重视劳动合同的签订工作。如果你有任何关于劳动合同或劳动纠纷的问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。