结论前置：双方合同到期后继续履行的，在继续履行期间双方是可以解除合同的，但具体情形需根据合同约定和法律规定来判断。
详细分析：
合同到期后继续履行的性质：
- 合同到期后，如果双方没有明确表示不再继续履行，而是通过实际行为（如继续提供服务、支付费用等）表明愿意继续受合同约束，那么可以视为双方以实际行为达成了继续履行的合意。这种情况下，合同并非重新签订，而是基于原合同的条款和条件继续履行，但可能形成了一个新的、事实上的合同关系。
解除合同的可能性：
- 协商一致解除：在继续履行期间，如果双方协商一致，可以随时解除合同。这是最直接且常见的方式，双方可以签订解除协议，明确解除的时间、方式以及后续事宜的处理等。
- 法定解除事由：如果合同中存在法定解除事由（如不可抗力导致合同目的无法实现、一方迟延履行主要债务经催告后仍未履行等），或者符合《民法典》中关于合同解除的其他规定（如因违约解除等），则一方可以行使解除权，通知对方解除合同。
- 约定解除事由：如果合同中约定了一方在特定条件下有权解除合同，当这些条件满足时，该方也可以行使解除权。
解除合同的程序与规定：
- 无论哪种情况，解除合同都需要遵循一定的程序和规定。例如，根据《民法典》的规定，当事人一方依法主张解除合同的，应当通知对方。合同自通知到达对方时解除。对方对解除合同有异议的，任何一方当事人均可以请求人民法院或者仲裁机构确认解除行为的效力。
- 如果因解除合同产生纠纷，建议及时咨询专业律师，以确保自己的合法权益得到维护。
实际案例与法律后果：
- 假设有一个租赁合同，到期后租户继续租住，房东也继续收取租金，双方均未提出异议。后来，由于租户经常拖欠租金，房东决定解除合同。在这种情况下，房东可以依据《民法典》中关于迟延履行主要债务经催告后仍未履行的规定，行使解除权，通知租户解除合同。如果租户对解除合同有异议，房东可以请求人民法院或者仲裁机构确认解除行为的效力。
- 解除合同后，尚未履行的部分将终止履行；已经履行的部分，根据履行情况和合同性质，当事人可以请求恢复原状或者采取其他补救措施，并有权请求赔偿损失。如果合同因违约解除，解除权人还可以请求违约方承担违约责任。
总结：双方合同到期后继续履行的，在继续履行期间双方是可以解除合同的。但具体情形需根据合同约定和法律规定来判断。如果双方协商一致或者存在法定或约定的解除事由，且遵循了正确的解除程序和规定，那么解除合同是合法且有效的。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。