结论：发生事故当时没有报警，仅有对方医院付款记录，不能直接认定对方责任，但该记录可以作为证明对方可能存在责任的一个间接证据，需结合其他证据综合判断。

分析说明：

1. 事故责任认定的基本原则：

   • 事故责任的认定通常依赖于交警部门出具的事故责任认定书，该认定书是基于现场勘查、证人证言、监控录像等多种证据综合判断得出的。
   • 若事故发生时未报警，则缺乏交警部门的官方介入和调查，这增加了责任认定的难度。

2. 医院付款记录的作用：

   • 医院付款记录仅能证明对方为伤者支付了医疗费用，这一行为可能暗示对方承认自己在事故中负有一定责任，但并不能直接证明事故责任的具体分配。
   • 付款记录可能出于多种原因，如人道主义援助、避免纠纷升级等，因此不能单独作为认定责任的依据。

3. 综合证据的重要性：

   • 在缺乏交警部门事故责任认定书的情况下，要认定对方责任，需要收集其他相关证据，如现场照片、视频监控、证人证言、车辆损坏情况等。
   • 这些证据应能够形成一个完整的证据链，证明对方在事故中存在过错或违法行为，从而承担相应责任。

4. 可能的法律后果与建议：

   • 若仅凭医院付款记录而无法提供其他有力证据，可能面临无法有效证明对方责任的风险，进而影响赔偿请求的实现。
   • 建议尽快收集并保存所有可能的证据，包括但不限于现场照片、视频、证人联系方式等，并考虑咨询专业律师，以便在必要时通过法律途径维护自身权益。

行动建议：

• 收集证据：立即着手收集与事故相关的所有证据，包括现场照片、视频监控、证人证言等。
• 咨询律师：在收集证据的同时，咨询专业律师，了解自身权益和可能的法律途径。
• 协商或诉讼：根据律师的建议，尝试与对方协商解决赔偿问题；若协商无果，则考虑通过法律诉讼来维护自身权益。

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