结论前置：
- 一般情况下，公司在员工病假期间不能随意开除员工。
- 但存在特定情形，如员工存在严重过错或医疗期满后无法从事工作，公司可以依法解除劳动合同。
详细分析
一般情况下不得开除
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这一规定旨在保护处于病假等医疗期内员工的合法权益，防止用人单位滥用解除权。医疗期的具体长度根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，范围从3个月到24个月不等。
举例说明：假设某员工在公司工作了5年，实际工作年限也超过了10年，那么他的医疗期可能是9个月。在这9个月内，公司不得随意开除他。
特定情形下可以开除
尽管一般情况下不得开除病假期间的员工，但也存在特殊情形：
员工存在严重过错：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，若员工在病假期间严重违反用人单位的规章制度，如伪造病假证明、无故旷工等，且符合该法条规定的情形，用人单位有权解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
- 举例说明：如果员工在病假期间未经允许外出旅游，且被公司发现提供了虚假的病假证明，那么公司有权依据此条款开除他。
医疗期满后无法从事工作：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，如果员工在规定的医疗期满后仍然不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，那么用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需要支付相应的经济补偿。
- 经济补偿的计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
总结与建议
综上所述，公司在处理员工病假期间的劳动合同问题时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。在通常情况下，不得随意开除病假期间的员工。但在特定情形下，如员工存在严重过错或医疗期满后无法从事工作，用人单位可以依法解除劳动合同，并需按照法律规定支付相应的经济补偿。
因此，我建议公司在处理此类问题时，务必先了解清楚相关法律法规，确保操作的合法性和合规性。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会为你提供专业、全面的法律服务。